Формализм Джонса

Формализм Джонса — математический аппарат для анализа поляризации световой волны, в котором поляризация задается так называемыми векторами Джонса, а линейные оптические элементы — матрицами Джонса. Формализм предложил 1941 Роберт Кларк Джонс. Формализм Джонса применим для полностью поляризованного света, для неполяризованного или частично поляризованного света нужно использовать формализм Мюллера.

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в пустоте или другой однородной изотропной среде при отсутствии поглощения, там где свет можно описать поперечной электромагнитной волной. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении вдоль оси z и имеет циклическую частоту ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля (E и H) ортогональных к k в каждой точке; то есть лежат в плоскости, поперечной относительно направления движения. Более того, H определяется с E поворотом на 90 градусов и умножением на определённый коэффициент, зависящий от системы единиц и волнового импеданса среды. Поэтому при изучении поляризации достаточно сосредоточиться на E. Комплексная амплитуда E записывается

${\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}$.

Физическое значение E определяется действительной частью этого вектора, а комплексный множитель описывает фазу волны.

Тогда вектор Джонса определяется как:

${\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.$

Итак вектор Джонса сохраняет информацию об амплитуде и фазе x и y компонент поля.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент вектора Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно её нормируют на единицу в той точке, откуда начинается расчёт. Обычно также предполагается, что первая компонента вектора Джонса является действительным числом. В этом случае отбрасывается информация о совместной фазе, которая, впрочем, необходима для расчёта интерференции с другими пучками.

Векторы и матрицы Джонса обозначаются так, что фаза волны задается $\phi =kz-\omega t$. При таком определении увеличению $\phi _{x}$ (или $\phi _{y}$) соответствует отставание по фазе, а уменьшению — опережение. Например, компонента вектора Джонса $i$ ($=e^{i\pi /2}$) указывает на отставание на $\pi /2$ (или 90 градусов) по сравнению с 1. Применяется и другая конвенция ($\phi =\omega t-kz$), поэтому читателю следует быть внимательным.

Следующая таблица содержит 6 популярных примеров вектора Джонса:

Поляризация света	Вектор Джонса	Типовое кет-обозначение
Линейно поляризованный по x привычное название — горизонтальная	${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$	$|H\rangle$
Линейно поляризованный по y привычное название — вертикальная	${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$	$|V\rangle$
Линейно поляризованный под углом 45° к оси x привычное название — диагональная L+45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$	$|D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )$
Линейно поляризованный под углом −45° к оси x привычное название — антидиагональная L-45	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$	$|A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )$
Круговая поляризация по часовой стрелке привычное название — RCP или RHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}$	$|R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )$
Круговая поляризация против часовой стрелки привычное название — LCP или LHCP	${\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}$	$|L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )$

В общем случае любой вектор можно записать в кет-нотации как $|\psi \rangle$. Применяя сферу Пуанкаре (известную также как сфера Блоха), базовые кет-векторы ($|0\rangle$ и $|1\rangle$) должны обозначать противоположные кет-векторы из перечисленных пар. Например, можно обозначить $|0\rangle$ = $|H\rangle$ и $|1\rangle$ = $|V\rangle$. Выбор здесь произвольный. Противоположные пары:

• $|H\rangle$ и $|V\rangle$
• $|D\rangle$ и $|A\rangle$
• $|R\rangle$ и $|L\rangle$

Любую поляризацию, не совпадающую с $|R\rangle$ или $|L\rangle$ и не принадлежащую кругу, проходящему через $|H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle$, называют эллиптической.

Матрицы Джонса

Матрицами Джонса называют операторы, действующие на векторы Джонса. Их определяют для различных оптических элементов: линз, делителей пучков, зеркал и так далее. Каждая матрица является проекцией на одномерное комплексное пространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный [[]]поляризатор с горизонтальной осью пропускания	${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания	${\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания под углом ±45° к горизонтальной	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}$
Правозакрученный круговой поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}$
Левозакрученный круговой поляризатор	${\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}$

Манипулирование фазой

Фазовые преобразователи вносят изменение в разность фаз между вертикальной и горизонтальной поляризациями, управляя так поляризацией пучка. Обычно их изготавливают из одноосных кристаллов с двойным лучепреломлением, таких как кальцит, MgF ₂ или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну из кристаллических осей, отличную от двух других (то есть, n_i ≠ n_j = n_k). Эту ось называют необычным или оптической. Оптическая ось может быть быстрой или медленной, в зависимости от кристалла. Свет распространяется с высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эту ось называют быстрой. Аналогично, ось с наибольшим показателем преломления называется медленной. "Негативные" одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO _3, сапфир Al₂O₃) имеют n_e <n_o, поэтому для этих кристаллов необычная (оптическое) ось является быстрой, тогда как "положительные" одноосные кристаллы (например, кварц SiO₂, фторид магния MgF₂, рутил TiO₂) имеют n_e>n_o, и необычная ось у них медленная.

Преобразователь фазы с быстрой осью, совпадающей с осями x или y, имеет нулевые недиагональные члены, а потому его можно отобразить матрицей

${\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}$

где $\phi _{x}$ и $\phi _{y}$ — фазы электрического поля в направлениях x и y, соответственно. В этих обозначениях $\phi =kz-\omega t$ задает относительную фазу между двумя волнами как $\epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}$. Тогда положительное значение $\epsilon$ (то есть $\phi _{y}$ > $\phi _{x}$) означает, что $E_{y}$ не будет иметь то же значение, что $E_{x}$ еще некоторое время, то есть $E_{x}$ впереди $E_{y}$. Аналогично, если $\epsilon <0$, то $E_{y}$ опережает $E_{x}$. Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальная, то фазовая скорость горизонтальной поляризации будет опережать фазовую скорость вертикальной поляризации, то есть $E_{x}$ впереди $E_{y}$. Если $\phi _{x}<\phi _{y}$, что для четвертьволнового пластинки дает $\phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2$.

Альтернативное обозначение для фазы:: $\phi =\omega t-kz$, определяет относительную фазу как $\epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}$. Тогда $\epsilon >0$ означает, что $E_{y}$ еще некоторое время не будет того же значения, $E_{x}$, тогда $E_{x}$ опережает $E_{y}$.

Элемент	Матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с вертикальной быстрой осью	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с горизонтальной быстрой осью	$e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ к горизонтальной оси	$e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом $\theta$ к горизонтальной оси	$e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}$
Произвольный материал с двойным преломлением (как фазовый преобразователь)	${\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}$