Функция распределения (статистическая физика)

Не следует путать с функцией распределения в теории вероятностей.

Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами $q_{i}$ и импульсами $p_{i}$ её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин $q\equiv \left\{q_{i}\right\}$ и $p\equiv \left\{p_{i}\right\}$ образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределения

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства $\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\equiv \prod \limits _{i}\mathrm {d} q_{i}\,\mathrm {d} p_{i}$, с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

$\mathrm {d} \omega =\rho \!\left(t,q,p\right)\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\qquad (1)$

Функцию $\rho \!\left(t,q,p\right)$ называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция $\rho \!\left(t,q,p\right)$ удовлетворяет условию нормировки:

$\int {\rho \!\left(t,q,p\right)\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p}=1,\qquad (2)$

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными ${q}^{(0)}\equiv \left\{{q_{i}}^{(0)}\right\}$ и ${p}^{(0)}\equiv \left\{{p_{i}}^{(0)}\right\}$, и тогда

$\rho \!\left(q,p\right)=\delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\,\delta \!\left(p-p^{(0)}\right),$

где $\delta \!\left(q-q^{(0)}\right)\delta \!\left(p-p^{(0)}\right)\equiv \prod \limits _{i}\delta \!\left(q_{i}-{q_{i}}^{(0)}\right)\delta \!\left(p_{i}-{p_{i}}^{(0)}\right)$ (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция $\rho \!\left(t,q,p\right)$ позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины $F\!\left(t,q,p\right)$ — функции фазовых переменных q и p:

$\left\langle {\hat {F}}\right\rangle =\int {{\hat {F}}\,{\hat {\rho }}\,\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p},$

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

$\rho \!\left(t,q,p\right)=\prod \limits _{n}\rho ^{(n)}\!\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)\qquad (3)$

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций $\rho ^{(n)}\!\left(t,q^{(n)},p^{(n)}\right)$ можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция $\rho$. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения $\rho \!\left(t,q,p\right)$ равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ $N_{A}$, где $N_{A}$ — число Авогадро).

Неполное описание

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин ${\hat {A}}\equiv \left\{{\hat {A}}_{m}\right\}$. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей $\rho \!\left(A\right)$ значений $A$ дается равенством

$\rho \!\left(A\right)=\int {\mathrm {d} q\,\mathrm {d} p\,\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\rho \!\left(q,p\right)},$

где $\delta \!\left(A-{\hat {A}}\right)\equiv \prod \limits _{m}\delta \!\left(A_{m}-{\hat {A}}_{m}\right)$. Функция распределения $\rho \!\left(A\right)$ может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин ${\hat {f}}\equiv f\!\left({\hat {A}}\right)$ , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через ${\hat {A}}$ . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

$\left\langle {\hat {f}}\right\rangle =\int {\mathrm {d} A\,f\!\left(A\right)\,\rho \!\left(A\right)},$

где $\mathrm {d} A\equiv \prod \limits _{m}\mathrm {d} A_{m}$ и интегрирование ведется по всем возможным значениям $A$. Конечно, средние значения $\left\langle {\hat {f}}\right\rangle$ величин ${\hat {f}}$ можно было бы найти с помощью полной функции распределения $\rho \!\left(t,q,p\right)$, если бы она была известна. Для функции $\rho \!\left(A\right)$ так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

$\int {\mathrm {d} A\,\rho \!\left(A\right)}=1$

Описание системы с помощью функции $\rho \!\left(A\right)$ называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

${\frac {\partial {\hat {\rho }}\!\left(t\right)}{\partial t}}+i\,L_{t}\,{\hat {\rho }}\!\left(t\right)=0,\qquad (4)$

где $L_{t}$ — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

$L_{t}\,\cdot \equiv -i\left\{{\hat {H}}_{t},\cdot \right\}\equiv -i\sum \limits _{j}\left({\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial {\hat {H}}_{t}}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial }{\partial p_{j}}}\right)$,

${\hat {H}}_{t}$ — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени ($L_{t}=L$), решение уравнения (4) имеет вид

${\hat {\rho }}\!\left(t\right)=e^{-itL}{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\qquad (5)$

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции ${\hat {\psi }}^{(n)}$ и собственные значения $L^{(n)}$ оператора $L$.

Пользуясь полнотой и ортонормированностью ${\hat {\psi }}^{(n)}$, напишем:

${\hat {\rho }}\!\left(0\right)=\sum \limits _{n}c_{n}{\hat {\psi }}^{(n)}$,

где $c_{n}=\left({\hat {\psi }}^{(n)},{\hat {\rho }}\!\left(0\right)\right)$ (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

${\hat {\rho }}\!\left(t\right)=\sum \limits _{n}e^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}}c_{n}\,{\hat {\psi }}^{(n)}$

См. также

• Частичная функция распределения

Литература

• Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-ое изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
• Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
• Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3
• Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. — 368с.
• Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — («Теоретическая физика», том V).
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
• Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.