Число Перрина

В теории чисел числами Перрина называются члены линейной рекуррентной последовательности:

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2,

и

P(n) = P(n − 2) + P(n − 3) for n > 2.

Последовательность чисел Перина начинается с

3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29, 39, ... (последовательность A001608 в OEIS)

История

Эта последовательность была упомянута Эдвардом Лукасом (Édouard Lucas) в 1876-ом. В 1899-ом ту же самую последовательность использовал в явном виде Перрин. Наиболее глубокое изучение этой последовательности было сделано Адамсом (Adams) и Шанксом (Shanks) (1982).

Свойства

Производящая функция

Производящей функцией чисел Перрина является

$G(P(n);x)=\frac{3-x^2}{1-x^2-x^3}.$

Матричное представление

$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P\left(n\right) \\ P\left(n+1\right) \\ P\left(n+2\right) \end{pmatrix}$

Аналог формулы Бине

Последовательность чисел Перрина может быть записана в терминах степени корней характеристического уравнения

$x^3 -x -1 = 0.$

Это уравнение имеет три корня. Один из этих корней вещественный p (известен как пластическое число) и два комплексных сопряженных корней q и r. Используя эти три корня можно выразить число Перрина аналогично формуле Бине для чисел Люка:

$P\left(n\right) = {p^n} + {q^n} + {r^n}.$

Поскольку абсолютные значения комплексных корней q и r меньше 1, степени этих корней будут стремиться к 0 при увеличении n. Для больших n формула упрощается до

$P\left(n\right) \approx {p^n}$

Эта формула может быть использована для быстрого вычисления чисел Перина для больших n. Отношение последовательных членов последовательности Перина стремится к p ≈ 1.324718. Эта константа играет ту же роль для последовательности Перина, что и золотое сечение для чисел Люка. Аналогичная связь существует между p и последовательностью Падована, между золотым сечением и числами Фибоначчи, а также между серебряным сечением и числами Пелля.

Формула умножения

Из формул Бине мы можем получить формулы для G(kn) в терминах G(n−1), G(n) и G(n+1). Мы знаем, что

$\begin{matrix} G(n-1) & = &p^{-1}p^n + &q^{-1}q^n +& r^{-1} r^n\\ G(n) & =& p^n+&q^n+&r^n\\ G(n+1) &=& pp^n +& qq^n +& rr^n\end{matrix}$

Что дает нам систему из трех линейных уравнений с коэффициентами из поля разложения многочлена $x^3 -x -1$. Вычислив обратную матрицу, мы можем решить уравнения и получить $p^n, q^n, r^n$. Затем мы можем возвести в степень k все три полученных значения и посчитать сумму.

Пример программы в системе Magma:

P<x> := PolynomialRing(Rationals());
S<t> := SplittingField(x^3-x-1); 
P2<y> := PolynomialRing(S);
p,q,r := Explode([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]);
Mi:=Matrix([[1/p,1/q,1/r],[1,1,1],[p,q,r]])^(-1);
T<u,v,w> := PolynomialRing(S,3);
v1 := ChangeRing(Mi,T) *Matrix([[u],[v],[w]]);
[p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]];

Положим $u = G(n-1), v = G(n), w = G(n+1)$. В результате решения системы получим

$\begin{matrix} 23G(2n-1) &=& 4u^2 + 3v^2 + 9w^2 + 18uv - 12uw - 4vw \\ 23G(2n) &=& - 6u^2 + 7v^2 - 2w^2 - 4uv + 18uw + 6vw\\ 23G(2n+1) &=& 9u^2 + v^2 + 3w^2 + 6uv - 4uw + 14vw \\ 23G(3n-1)& = &\left(-4u^3 + 2v^3 -w^3 + 9(uv^2+vw^2+wu^2) + 3v^2w+6uvw\right)\\ 23G(3n)& = &\left(3u^3 + 2v^3 + 3w^3 - 3(uv^2 + uw^2 + vw^2 + vu^2) + 6v^2w + 18uvw\right) \\ 23G(3n+1)& = &\left(v^3-w^3+6uv^2+9uw^2+6vw^2+9vu^2-3wu^2+6wv^2-6uvw\right) \end{matrix}$

Число 23 возникает в этих формулах как дискриминант многочлена, задающего последовательность ($x^3 -x -1$).

Это позволяет вычислять n-ое число Перрина в арифметике целых чисел используя $O(\log n)$ умножений.

Простые и делимость

Псевдопростые числа Перрина

Было доказано, что все простые p делят P(p). Обратно, однако, неверно – некоторые сотавные числа n могут делить P(n), такие числа называются псевдопростыми Перрина.

Вопрос о существовании псевдопростых Перрина был рассмотрен самим Перрином, но было неизвестно, существуют они или нет, пока Адамс (Adams) и Шанкс (Shanks) (1982) не обнаружили наименьшее из них, 271441 = 521². Следующим стало 904631 = 7 x 13 x 9941. Известно семнадцать псевдопростых чисел Перрина, меньших миллиарда; Джон Грантам (Jon Grantham) доказал, что имеется бесконечно много псевдопростых чисел Перрина.

Простые числа Перрина

Числа Перрина, являющиеся простыми образуют последовательность:

2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071579864797 (последовательность A074788 в OEIS)

Вайсштайн нашел вероятно простое число Перрина P(263226) с 32147 знаками в мае 2006 года.

Ссылки

• Adams, William; Shanks, Daniel (1982). «Strong primality tests that are not sufficient». Mathematics of Computation (American Mathematical Society) 39 (159): 255–300. DOI:10.2307/2007637. MR0658231.

• Füredi, Z. (1987). «The number of maximal independent sets in connected graphs». Journal of Graph Theory 11 (4): 463–470. DOI:10.1002/jgt.3190110403.

• Lucas, E. (1878). «Théorie des fonctions numériques simplement périodiques». American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press) 1 (3): 197–240. DOI:10.2307/2369311.

• Perrin, R. (1899). «Query 1484». L'Intermediaire Des Mathematiciens 6: 76.

Ссылки

• Zentrum für Hirnforschung Institut für Medizinische Kybernetik und Artificial Intelligence
• MathPages — Lucas Pseudoprimes
• MathPages — Perrin’s Sequence