0,(9)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
0komo999 perspektiva.svg

0,(9) или 0,999… ( 0.\bar{9} , 0.\dot{9}) («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами,

1=0{,}(9).

У этого равенства существует несколько доказательств, основанных на теории пределов.

Доказательства[править | править исходный текст]

Алгебраические[править | править исходный текст]

Деление столбиком[править | править исходный текст]

Часто рациональная дробь может быть представлена десятичной только с бесконечным хвостом. Используя деление столбиком, деление двух целых чисел, например \frac{1}{3} приводит к бесконечному 0,333… в десятичной записи, где цифры повторяются бесконечно. Таким образом легко доказывается равенство 0,999… = 1. Умножение 3 на 3 даёт 9 в каждом разряде, поэтому 3 × 0,333… эквивалентно 0,999…. И 3 × 13 эквивалентно 1, поэтому 0,999… = 1[1].

1 = 3 \cdot \frac{1}{3} = 3 \cdot 0{,}333\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9); 1 = 9 \cdot \frac{1}{9} = 9 \cdot 0{,}111\ldots = 0{,}999\ldots = 0{,}(9).

Манипуляции с цифрами[править | править исходный текст]

Когда число в десятичной записи умножается на 10, то цифры не меняются, но каждый разряд передвигается на одну цифру влево. Следовательно, 10 × 0,999… = 9,999…, что на 9 больше, чем исходное число. Чтобы это увидеть, отнимем 0,999… от 9,999…, каждая цифра после запятой исчезает, так как 9 — 9 = 0 для каждого разряда. Последний шаг использует правила алгебры:


\begin{align}
x             &= 0{,}999\ldots; \\
10x           &= 9{,}999\ldots; \\
10x - x       &= 9{,}999\ldots - 0{,}999\ldots; \\
9x            &= 9; \\
x             &= 1; \\
0{,}999\ldots &= 1.
\end{align}

Нахождение разности[править | править исходный текст]

Два числа равны, если их разность равняется нулю. Таким образом, нужно найти значение выражения 1-0,(9). Сперва рассмотрим более простой пример. Найдем разность 1 и 0,9 (первая итерация), затем добавив к вычитаемому в следующий за последним разрядом цифру 9 (получится число 0,99), найдем разность 1 и нового вычитаемого 0,99 (вторая итерация). После чего по той же схеме определим разность 1 и 0,999 (третья итерация) и т.д.


\begin{align}
1-0{,}9         &= 0{,}1 \\
1-0{,}99        &= 0{,}01 \\
1-0{,}999       &= 0{,}001 \\
\ldots \\
\end{align}

Итак, при повышении номера итерации, значение вычитаемого стремится к 0,(9), а разность — к нулю. И в общем случае, данную ситуацию можно записать следующим образом:


\begin{align}
1-0{,}\underbrace{ 99\ldots9 }_{n}  &= 0{,}\underbrace{ 00\ldots0 }_{m=n-1}1, \\
\end{align}

где n - номер итерации (количество девяток после запятой вычитаемого),
m - количество нулей между запятой и единицей разности.
Для нахождения разности 1-0,(9), положим значение номера итерации равным бесконечности: n = \infty. Тогда m = n-1 =\infty.
Таким образом, искомая разность формально имеет бесконечность нолей после запятой, после которых идет единица

1-0{,}(9) = [0{,}(0)1] [2].

На самом деле, если после запятой находится бесконечное множество цифр (в данном случае нулей), то в следующий после него разряд невозможно вписать больше ни единой цифры, поскольку такого разряда не существует. В данном случае искомая разница после запятой будет иметь совокупность нулей, которая никогда не закончится (бесконечность нулей), а следовательно единицы после всех нолей не будет. Таким образом разность будет представлена в виде чистой периодической дроби с нулевой целой частью и периодом, состоящим из одного нуля: 0,(0), что является представлением числа 0 в виде периодической десятичной дроби:

0{,}(0) = 0.

Таким образом,

1-0{,}(9) = 0,

а значит

1 = 0{,}(9).

Аналитические[править | править исходный текст]

Число 0,999… в общем виде можно записать как b_0.b_1b_2b_3b_4b_5\dots

Бесконечные последовательности[править | править исходный текст]

В соответствии с определением десятичной системы счисления, посчитаем сумму ряда:

b_0 . b_1 b_2 b_3 b_4 \ldots = b_0 + b_1({\tfrac{1}{10}}) + b_2({\tfrac{1}{10}})^2 + b_3({\tfrac{1}{10}})^3 + b_4({\tfrac{1}{10}})^4 + \cdots .

Для 0,999… применим теорему о сумме сходящейся геометрической прогрессии[3]:

Если |r| < 1 , то ar+ar^2+ar^3+\cdots = \frac{ar}{1-r}.

Радиус сходимости (знаменатель прогрессии) r=\textstyle\frac{1}{10}, и таким образом:

0.999\ldots = 9(\tfrac{1}{10}) + 9({\tfrac{1}{10}})^2 + 9({\tfrac{1}{10}})^3 + \cdots = \frac{9({\tfrac{1}{10}})}{1-{\tfrac{1}{10}}} = 1.\,

Такое доказательство (об эквивалентности 10 и 9,999…) было опубликовано в 1770 году Леонардом Эйлером в издании Элементы алгебры (англ.)[4].

Единичные интервалы, (0.3, 0.33, 0.333, …) сходящиеся к 1 (в четверичной системе счисления).

Формула суммы сходящейся геометрической прогрессии была известна до Эйлера. Выпущенный в 1811 году учебник An Introduction to Algebra также использует геометрическую прогрессию для числа 0,(9)[5]. В XIX веке реакция на такое правило суммирования вылилась в утверждение: сумма ряда должна быть пределом последовательности частичных сумм[6].

Последовательность (x0, x1, x2, …) имеет предел x тогда и только тогда, когда |x − xn| бесконечна мала с ростом n. Утверждение 0.999… = 1 может быть интерпретировано как предел[7]:

0.999\ldots = \lim_{n\to\infty}0.\underbrace{ 99\ldots9 }_{n} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k = 1}^n\frac{9}{10^k}  = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{10^n}\right) = 1-\lim_{n\to\infty}\frac{1}{10^n} = 1.\,

Последний шаг \lim_{n\to\infty} \frac{1}{10^n} = 0 — делается на основании того, что вещественные числа удовлетворяют аксиоме Архимеда.

Применение[править | править исходный текст]

Существует много применений, например в элементарной теории чисел. В 1802 году H. Goodwin опубликовал наблюдение, обнаруженное им при делении на простые числа. Например:

  • 1/7 = 0,142857142857… и 142 + 857 = 999.
  • 1/73 = 0,0136986301369863… и 0136 + 9863 = 9999.

Миди в 1836 году обобщил данные наблюдения до теоремы Миди[убрать шаблон].

В популярной культуре[править | править исходный текст]

Новостная колонка The Straight Dope доказывает 0,999… с помощью 13 и пределов, говоря о непонимании,

Низший примат в нас упирается, говоря: ,999~ на самом деле представляет не число, а процесс. Чтобы найти число мы должны остановить этот процесс. И в этот момент равенство ,999~ = 1 просто разваливается.

Чушь.[8]

Вопрос о 0,999… стал такой популярной темой в первые семь лет форумов Battle.net, что компания выпустила «пресс-релиз» на День дураков 2004 года:

Мы очень рады закрыть книгу на этой теме раз и навсегда. Мы были свидетелями страдания и беспокойства насчёт того, ,999~ равняется 1 или же нет, и мы с гордостью представляем следующее доказательство, решаюшее эту проблему для наших покупателей[9].

Далее следуют доказательства, основанные на пределах и умножении на 10.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. cf. with the binary version of the same argument in Silvanus P. Thompson, Calculus made easy, St. Martin’s Press, New York, 1998. ISBN 0-312-18548-0.
  2. Квадратные скобки указывают на формальность находящегося в них выражения. И не всегда формальное выражение будет равняться реальному. В данном случае они как раз отличаются ([x]\neq x).
  3. Rudin p.61, Theorem 3.26; J. Stewart p.706
  4. Euler p.170
  5. Grattan-Guinness p.69; Bonnycastle p.177
  6. For example, J. Stewart p.706, Rudin p.61, Protter and Morrey p.213, Pugh p.180, J.B. Conway p.31
  7. The limit follows, for example, from Rudin p. 57, Theorem 3.20e. For a more direct approach, see also Finney, Weir, Giordano (2001) Thomas' Calculus: Early Transcendentals 10ed, Addison-Wesley, New York. Section 8.1, example 2(a), example 6(b).
  8. Cecil Adams. An infinite question: Why doesn't .999~ = 1?. The Straight Dope. Chicago Reader (11 июля 2003). Проверено 6 сентября 2006. Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012.
  9. Blizzard Entertainment Announces .999~ (Repeating) = 1. Press Release. Blizzard Entertainment (1 апреля 2004). Проверено 16 ноября 2009. Архивировано из первоисточника 18 февраля 2012.