Квантиль

Кванти́ль в математической статистике — значение, которое заданная случайная величина не превышает с фиксированной вероятностью. Если вероятность задана в процентах, то квантиль называется процентилем или перцентилем (см. ниже).

Например, фраза «90-й процентиль массы тела у новорожденных мальчиков составляет 4 кг» означает, что 90 % мальчиков рождаются с весом, меньшим либо равным 4 кг, а 10 % мальчиков рождаются с весом, большим либо равным 4 кг.

Определение

Рассмотрим вероятностное пространство $(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )$ и $\mathbb {P} ^{X}$ — вероятностная мера, задающая распределение некоторой случайной величины $X$. Пусть фиксировано $\alpha \in (0,\;1)$. Тогда $\alpha$-квантилем (или квантилью уровня (порядка) $\alpha$) распределения $\mathbb {P} ^{X}$ называется число $x_{\alpha }\in \mathbb {R}$ такое, что

$\mathbb {P} (X\leqslant x_{\alpha })\geqslant \alpha ,$

$\mathbb {P} (X\geqslant x_{\alpha })\geqslant 1-\alpha .$

В некоторых источниках (например, в англоязычной литературе) $k$-м $q$-квантилем называется квантиль уровня $k/q$, то есть $(k/q)$-квантиль в предыдущих обозначениях.

Замечания

• Если распределение непрерывно, то $\alpha$-квантиль однозначно задаётся уравнением

$F_{X}(x_{\alpha })=\alpha ,$

где $F_{X}$ — функция распределения $\mathbb {P} ^{X}$.

• Очевидно, для непрерывных распределений справедливо следующее широко использующееся при построении доверительных интервалов равенство:

$\mathbb {P} \left(x_{\frac {1-\alpha }{2}}\leqslant X\leqslant x_{\frac {1+\alpha }{2}}\right)=\alpha .$

• Для эмпирического распределения $\alpha$-квантиль можно задать следующим способом:

1. составляем вариационный ряд значений $V_{0}\leqslant V_{1}\leqslant \dots \leqslant V_{N-1}$ (выборка имеет объём $N$), а также считаем, что $V_{N}=V_{N-1}$ (это необходимо при вычислении 100 % квантили по приводимым ниже формулам);
2. находим величину $K=\lfloor \alpha \cdot (N-1)\rfloor$;
3. сравниваем $K$ и $\alpha \cdot N$:

a) если $K+1<\alpha N$, то полагаем $x_{\alpha }=V_{K+1}$;

б) если $K+1=\alpha N$, то полагаем $x_{\alpha }=(V_{K}+V_{K+1})/2$;

в) если $K+1>\alpha N$, то полагаем $x_{\alpha }=V_{K}$.

Заданный таким образом $\alpha$-квантиль удовлетворяет приведенному выше определению.

В некоторых случаях (при большом объёме выборки и эмпирическом распределении, близком к непрерывному) вместо равенства $K+1=\alpha N$ можно использовать приближённое сравнение $|K+1-\alpha N|<1/N$ (это позволит, например, квантиль уровня 1/3 представлять как 0,33…333 при компьютерной обработке данных).

Медиана и квантили

Квантили нормального распределения

Основная статья: Медиана (статистика)

• 0,25-квантиль называется первым (или нижним) кварти́лем (от лат. quarta — четверть);
• 0,5-квантиль называется медианой (от лат. mediāna — середина) или вторым кварти́лем;
• 0,75-квантиль называется третьим (или верхним) кварти́лем.

Интеркварти́льным размахом (англ. Interquartile range) называется разность между третьим и первым квартилями, то есть $x_{0{,}75}-x_{0{,}25}$. Интерквартильный размах является характеристикой разброса распределения величины и является робастным аналогом дисперсии. Вместе, медиана и интерквартильный размах могут быть использованы вместо математического ожидания и дисперсии в случае распределений с большими выбросами, либо при невозможности вычисления последних.

Дециль

Деци́ль характеризует распределение величин совокупности, при котором девять значений дециля делят её на десять равных частей. Любая из этих десяти частей составляет 1/10 всей совокупности. Так, первый дециль отделяет 10 % наименьших величин, лежащих ниже дециля, от 90 % наибольших величин, лежащих выше дециля.

Так же, как в случае моды и медианы, у интервального вариационного ряда распределения каждый дециль (и квартиль) принадлежит определённому интервалу и имеет вполне определённое значение.

Процентиль

$p$-м проценти́лем называют квантиль уровня $\alpha =p/100$. Соответственно, медиана является 50-м процентилем, а первый и третий квартиль — 25-м и 75-м процентилями соответственно.

В целом, понятия квантиль и процентиль взаимозаменяемы, так же, как и шкалы исчисления вероятностей — абсолютная и процентная.

Процентили также называются перцентилями или центилями.

Квантили стандартного нормального распределения

Вероятность (уровень квантили), %	99,99	99,90	99,00	97,72	97,50	95,00	90,00	84,13	50,00
Квантиль (округлённый до тысячных)	3,719	3,09	2,326	1,999	1,96	1,645	1,282	1	0

См. также

• Квантили распределения Стьюдента
• Квантили распределения хи-квадрат
• Нормальное распределение
• Доверительный интервал
• Наукометрия