Число

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск
У этого термина существуют и другие значения, см. Число (значения).

Число́ — абстракция, используемая для количественной характеристики объектов. Возникнув ещё в первобытном обществе из потребностей счёта, понятие числа изменялось и обогащалось и превратилось в важнейшее математическое понятие.

Содержание

[править] Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном счёте; множество натуральных чисел обозначается \mathbb{N}. Т.о. \mathbb{N}=\left\{1, 2, 3, ...\right\} (иногда к множеству натуральных чисел также относят ноль, то есть \mathbb{N}=\left\{0, 1, 2, 3, ...\right\}). Натуральные числа замкнуты относительно сложения и умножения (но не вычитания или деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно сложения.

Целые числа получаемые объединением натуральных чисел с множеством отрицательных чисел и нулём, обозначаются \mathbb{Z}=\left\{...-2, -1, 0, 1, 2, ...\right\}. Целые числа замкнуты относительно сложения, вычитания и умножения (но не деления).

Рациональные числа — числа, представленные в виде дроби m/n (n≠0), где m — целое число, а n — натуральное число. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чисел используется знак \mathbb{Q}.

Действительные (вещественные) числа представляют собой расширение множества рациональных чисел, замкнутое относительно некоторых (важных для математического анализа) операций предельного перехода. Множество вещественных чисел обозначается \mathbb{R}. Его можно рассматривать как пополнение поля рациональных чисел \mathbb{Q} при помощи нормы, являющейся обычной абсолютной величины. Кроме рациональных чисел, \mathbb{R} включает множество иррациональных чисел, не представимых в виде отношения целых. Кроме подразделения на рациональные и иррациональные, действительные числа также подразделяются на алгебраические и трансцендентные. При этом каждое трансцендентное число является иррациональным, каждое рациональное число — алгебраическим.

Комплексные числа \mathbb{C}, являющиеся расширением множества действительных чисел. Они могут быть записаны в виде z = x + iy, где i — т. н. мнимая единица, для которой выполняется равенство i2 = − 1. Комплексные числа используются при решении задач квантовой механики, гидродинамики, теории упругости и пр.

Для перечисленных множеств чисел справедливо следующее выражение: \mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}

[править] Обобщения чисел

Кватернионы представляющие собой разновидность гиперкомплексных чисел. Множество кватернионов обозначается \mathbb{H}. Кватернионы в отличие от комплексных чисел не коммутативны относительно умножения.

В свою очередь октавы \mathbb{O}, являющиеся расширением кватернионов, уже теряют свойство ассоциативности.

В отличие от октав, седенионы \mathbb{S} не обладают свойством альтернативности, но сохраняют свойство степенной ассоциативности.

Для этих множеств обобщённых чисел справедливо следующее выражение: \mathbb{C}\subset \mathbb{H}\subset \mathbb{O}\subset \mathbb{S}

p-адические числа \Q_p можно рассматривать как элементы поля, являющегося пополнением поля рациональных чисел \mathbb{Q} при помощи т. н. p-адического нормирования, аналогично тому, как поле действительных чисел \mathbb{R} определяется как его пополненние при помощи обычной абсолютной величины.

Аде́ли определяются как бесконечные последовательности {a∞,a2,a3,…ap…}, где a∞ — любое действительное число, а ap — p-адическое, причём все ap, кроме, может быть, конечного их числа, являются целыми p-адическими. Складываются и умножаются адели покомпонентно и образуют кольцо. Поле рациональных чисел вкладывается в это кольцо обычным образом r→{r, r,…r,…}. Обратимые элементы этого кольца образуют группу и называются иде́лями.

Иногда числами ради удобства называют элементы поля: например при рассмотрении некоторого векторного пространства над этим полем.

[править] Представление чисел в памяти компьютера

подробнее см. Прямой код, Дополнительный код (представление числа), Число с плавающей запятой

Для представления натурального числа в памяти компьютера, оно обычно переводится в двоичную систему счисления. Для представления отрицательных чисел используется т. н. дополнительный код числа, который получается путём прибавления единицы к инвертированному представлению модуля данного отрицательного числа в двоичной системе счисления.

Представление действительных чисел в памяти компьютера имеет некоторые ограничения связанные с используемой системой счисления, а также, ограниченностью объёма памяти выделяемого под числа. Действительные числа обычно представляются в виде чисел с плавающей запятой. При этом лишь некоторые из действительных чисел могут быть представлены в памяти компьютера точным значением, в то время как остальные числа представляются приближёнными значениями. В наиболее распространённом формате число с плавающей запятой представляется в виде последовательности битов, часть из которых кодирует собой мантиссу числа, другая часть — показатель степени, и ещё один бит используется для указания знака числа.

[править] См. также

[править] Литература

[править] Ссылки

п·о·р
Числа
Простые натуральные | целые | рациональные | иррациональные | вещественные | p-адические | алгебраические | трансцендентные
Составные комплексные | дуальные | двойные | кватернионы | числа Кэли (октавы) | седенионы | гиперкомплексные
п·о·р
Числа с собственными именами
Вещественные Золотое сечение • e (число Эйлера) • Пи • Число Скьюза
Натуральные Чёртова дюжина • Число зверя • Число Рамануджана — Харди
Степени десяти Мириада • Гугол • Асанкхейя • Гуголплекс
Степени тысячи Тысяча • Миллион • Миллиард • Биллион • Триллион … • … Центиллион • Зиллион
Степени двенадцати Дюжина • Гросс • Масса
Литературные меры счёта Доцанд • Мириад
п·о·р
Древнерусские числа
Тьма | Легион | Леодр | Вран | Колода

Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE»