Символ Леви-Чивиты

Символ Ле́ви-Чиви́ты — математический символ, который используется в тензорном анализе. Назван в честь итальянского математика Туллио Леви-Чивиты. Обозначается $\varepsilon _{ijk}$. Здесь приведён символ для трёхмерного пространства, для других размерностей меняется количество индексов (см. ниже).

Другие названия:

• абсолютно антисимметричный единичный тензор,
• полностью антисимметричный единичный тензор,
• абсолютно кососимметричный объект,
• тензор Леви-Чивиты (символ Леви-Чивиты является компонентной записью этого тензора),
• кососимметричный символ Кронекера (данный термин использовался в учебнике по тензорному исчислению Акивиса и Гольдберга).

Определение

Изображение символа Леви-Чивиты

В трёхмерном пространстве, в правом ортонормированном базисе (или вообще в правом базисе с единичным определителем метрики) символ Леви-Чивиты определяется следующим образом:

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}$

то есть для чётной перестановки индексов i, j, k он равен 1 (для троек (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), для нечётной перестановки равен -1 (для троек (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), а в остальных случаях равен нулю (при наличии повторяющихся индексов). Для компонент $\varepsilon _{ijk}$ в левом базисе берутся противоположные числа.

Для общего случая (произвольных косоугольных координат с правой ориентацией базисных векторов) это определение обычно меняется на

$\varepsilon _{ijk}={\begin{cases}+{\sqrt {g}},&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g}},&P(i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{cases}}$

где $g$ — определитель матрицы метрического тензора $g_{ij}$, представляющий квадрат объёма параллелепипеда, натянутого на базис. Аналогично, для левого базиса берутся противоположные числа.

Такой набор компонент $\varepsilon _{ijk}$ представляет собой (истинный) тензор. Если, как это иногда делается в литературе, в качестве определения $\varepsilon _{ijk}$ использовать приведённые выше формулы для любой — как правой, так и левой — системы координат, то получившийся набор чисел будет представлять псевдотензор. При этом $\varepsilon ^{ijk}$ будет таким же, но с заменой ${\sqrt {g}}$ на $1/{\sqrt {g}}.$

$\varepsilon _{ijk}$ может определяться также как смешанное произведение векторов базиса, в котором символ применяется:

$\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].$

Это определение для любого, правого или левого базиса, так как разница знака для левых и правых базисов заключена в смешанном произведении. Абсолютная величина каждой ненулевой компоненты равна объёму параллелепипеда, натянутого на базис $\{{\vec {e_{i}}}\}$. Тензор, как и положено, антисимметричен по любой паре индексов. Определение эквивалентно приведённым выше.

Иногда пользуются альтернативным определением символа Леви-Чивиты без множителя ${\sqrt {g}}$ в любых базисах (то есть таким, что все его компоненты всегда равны ±1 или 0, как в определении выше для ортонормированных базисов). В этом случае он сам по себе не является представлением тензора. Домноженный же на ${\sqrt {g}}$ объект (совпадающий с $\varepsilon _{ijk}$ в определении выше и являющийся тензором) в этом случае обозначается другой буквой и называется, как правило, элементом объёма. Мы же здесь следуем определению Леви-Чивиты. (Это замечание имеет силу не только для трёхмерного пространства, но и для любой размерности.)

Геометрический смысл

Как видно уже из определения через смешанное произведение, символ Леви-Чивиты связан с ориентированным объёмом и ориентированной площадью, представленной как вектор.

В трёхмерном (евклидовом) пространстве смешанное произведение трёх векторов

$V=\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

— это ориентированный объём (псевдоскаляр, модуль которого равен объёму, а знак зависит от ориентации тройки векторов) параллелепипеда, натянутого на три вектора ${\vec {a}}$, ${\vec {b}}$ и ${\vec {c}}$.

Векторное произведение двух векторов

$S_{i}=\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$

— это ориентированная площадь параллелограмма, стороны которого — векторы ${\vec {a}}$ и ${\vec {b}}$, представленная псевдовектором, длина которого равна площади, а направление — ортогонально к плоскости параллелограмма.

Этот смысл сохраняется для любой размерности пространства n, если, конечно, брать $\varepsilon$ с соответствующим количеством индексов, под объёмом понимать n-мерный объём, а под площадью — (n − 1)-мерную (гипер-)площадь. При этом, естественно, в соответствующую формулу входит n и (n − 1) векторов — сомножителей. Например, для 4-мерного (евклидова) пространства:

$V=\varepsilon _{ijkm}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},$

$S_{i}=\varepsilon _{ijkm}a^{j}b^{k}c^{m}.$

Свойства

• Определитель матрицы A размера 3×3 можно записать (здесь подразумевается стандартный, а следовательно ортонормированный базис) как

  ${\begin{vmatrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{vmatrix}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$

• Векторное произведение двух пространственных векторов записывается через этот символ:

  ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^{i}a^{j}b^{k}={\vec {c}}$, где $c_{i}=\sum _{j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{j}b^{k}$ — его компоненты, а ${\vec {e}}^{i}$ — векторы базиса.

• Смешанное произведение векторов тоже:

  $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}.$

• В следующей формуле $\delta$ обозначает символ Кронекера:

  $\varepsilon _{ijk}\varepsilon ^{lmn}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i}^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l}&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatrix}}.$

• Суммирование по общему индексу даёт

  $\sum _{i=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}.$

• В случае двух общих индексов $i,j$ тензор сворачивается следующим образом:

  $\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{ijn}=2\delta _{kn}.$

(Везде здесь в случае ортонормированного базиса все индексы можно просто переписать как нижние.)

Обобщение на случай n измерений

Символ Леви-Чивиты может быть легко обобщён на любое количество измерений больше единицы, если пользоваться определением через чётность перестановок индексов:

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matrix}\!\\\!\\\!\end{matrix}}\right.$	$+{\sqrt {g}},$ если $(i,j,k,l,\dots )$ есть чётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots );$
	$-{\sqrt {g}},$ если $(i,j,k,l,\dots )$ есть нечётная перестановка набора $(1,2,3,4,\dots );$
	$0$, если хотя бы два индекса совпадают.

То есть он равен знаку (signum) перестановки, умноженному на корень из определителя метрики ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\}}}}$ в случае, когда индексы принимают значения, реализующие перестановку набора $(1,2,3,\dots ,n)$, а в остальных случаях ноль. (Как видим, количество индексов равно размерности пространства $n$.)

• В псевдоевклидовых пространствах в случае, если сигнатура метрики такова, что $g<0$, вместо него как правило берут $-g$, чтобы ${\sqrt {g}}$ получался вещественным.
• Во всех размерностях, где символ Леви-Чивиты определён, он представляет тензор (имеется в виду главным образом то, что надо проследить за тем, чтобы количество индексов символа совпадало с размерностью пространства). Кроме того, как видно из написанного выше, какие-то трудности с обычным определением символа Леви-Чивиты могут быть в пространствах, где не определён метрический тензор, или, скажем, $\det {\{g_{ij}\}}=0$ или $\det {\{g^{ij}\}}=0$.

Можно показать, что для $n$ измерений выполняются свойства, аналогичные трёхмерным:

• $\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

— что связано с тем, что существует $n!$ перестановок набора $(1,2,3,\dots ,n)$, а следовательно, столько же ненулевых компонент $\varepsilon$ с $n$ индексами.

• $\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{pqr\dots }={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{p}&\delta _{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\dots \\\delta _{j}^{p}&\delta _{j}^{q}&\delta _{j}^{r}&\dots \\\delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}.$

После раскрытия определителя появляется множитель $n!$ и производятся упрощения в соответствующих символах Кронекера.

• Псевдоскалярное произведение двух векторов в двумерном пространстве:

  ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum _{i,j=1}^{2}\varepsilon _{ij}a^{i}b^{j}.$

• Определитель матрицы $A$ размера $n\times n$ можно удобно записать с использованием $n$-мерного символа Леви-Чивиты

  $\det {A}=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum _{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots ,i_{n}=1}^{n}\varepsilon _{i_{1}i_{2}i_{3}\cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

что является, по сути, просто переписанным с помощью этого символа определением определителя (одним из самых распространённых). Здесь базис подразумевается стандартным, и ненулевые компоненты $\varepsilon _{ijk\ldots }$ принимают тут значения $\pm 1$.

• Прямое $n$-мерное обобщение векторного произведения $n-1$ штук ($n$-мерных) векторов:

  ${\vec {p}}={{\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f}}^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

где $p_{i}=\sum _{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }a^{j}b^{k}c^{m}\ldots$ — его компоненты, а ${\vec {f}}^{i}$ — базисные векторы. (Здесь для краткости записано выражение для ковариантных компонент и разложение в дуальном базисе.)

• Прямое $n$-мерное обобщение смешанного произведения $n$ штук ($n$-мерных) векторов:

  $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots ]=\sum _{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots .$

Безындексная запись (для n измерений)

В безындексной тензорной записи символ Леви-Чивиты заменяется оператором дуальности, называемым звёздочка Ходжа, или просто оператор звездочка:

$(*\eta )_{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n-k}}={\frac {1}{k!}}\eta ^{j_{1},\ldots ,j_{k}}\varepsilon _{j_{1},\ldots ,j_{k},i_{1},\ldots ,i_{n-k}}$

(для произвольного тензора $\eta ,$ учитывая эйнштейновское правило суммирования).

См. также

• Символ Кронекера
• Метрический тензор
• Символ Кристоффеля

Ссылки

• Hermann R. (ed.), Ricci and Levi-Civita’s tensor analysis papers, (1975) Math Sci Press, Brookline (определение символа — см. с. 31).
• Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation, (1970) W. H. Freeman, New York; ISBN 0-7167-0344-0. (См. параграф 3.5 для обзора применения тензоров в общей теории относительности).
• Русский перевод: Ч. Мизнер, К. Торн, Дж. Уилер, Гравитация. — М.: Мир, 1977 (См. по указателю — Леви-Чивиты тензор).
• Димитриенко Ю. И., Тензорное исчисление, М.: Высшая школа, 2001. — 575 с.