Биномиальное преобразование

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Биномиальное преобразование — последовательность преобразований или же преобразование последовательности, которая вычисляет её конечные разности. Понятие биномиального преобразования тесно связано с преобразованием Эйлера, которое является результатом применения биномиального преобразования к последовательности.

Определение[править | править вики-текст]

Биномиальное преобразование последовательности в последовательность имеет вид

Введём , где  — оператор, имеющий бесконечную размерность и состоящий из элементов матрицы

Оператор обладает свойством инволюции:

или в иных обозначениях ,
где
 — символ Кронекера.

Изначальный ряд может быть восстановлен по правилу

Биномиальные преобразования последовательностей представляют собой n знакопеременных конечных разностей:

;
;
;
где
 — оператор дифференцирования:

Пример[править | править вики-текст]

Биномиальные преобразования можно увидеть в таблицах, например, в данной:

0   1   10   63   324   1485
  1   9   53   261   1161
    8   44   208   900
      36   164   692
        128   528
          400

Верхняя строка (0, 1, 10, 63, 324, 1485) определяется формулой , которая является биномиальным преобразованием диагонали (0, 1, 8, 36, 128, 400), которая в свою очередь, определяется формулой

Сдвиг[править | править вики-текст]

Биномиальный оператор является оператором сдвига для чисел Белла :

Простые производящие функции[править | править вики-текст]

Биномиальное преобразование производящей функцией последовательности связано с теорией рядов.

Пусть

Тогда

(простая производящая функция)

Преобразование Эйлера[править | править вики-текст]

Соотношение между простыми производящими функциями иногда называют преобразованием Эйлера, которое используется, например, для ускорения сходимости знакопеременных рядов. Если подставить в формулу для простой производящей функции, то получим

,

что сходится гораздо быстрее изначального ряда.

Можно обобщить это преобразование до вида при

Преобразование Эйлера также применяется к гипергеометрической функции , получая

Биномиальные преобразования, а в частности и преобразование Эйлера, связаны с цепными дробями. Пусть имеет цепную дробь .

Тогда

Экспоненциальная производящая функция[править | править вики-текст]

Для экспоненциальной функции имеем

Тогда

Интегральное представление[править | править вики-текст]

Когда последовательность может быть представлена в виде интерполяции комплексной функции, биномиальное представление последовательности может быть представлено в виде интеграла Норлунда — Райса от интерполяционной функции.

Обобщение биномиальных преобразований[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]