Преобразование Меллина

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Преобразование Меллина — преобразование, которое можно рассматривать как мультипликативную версию двустороннего преобразования Лапласа. Это интегральное преобразование тесно связано с теорией рядов Дирихле и часто используется в теории чисел и в теории асимптотических разложений. Преобразование Меллина тесно связано с преобразованием Лапласа и преобразованием Фурье, а также теорией гамма-функций и теорией смежных специальных функций.

Преобразование названо по имени исследовавшего его финского математика Ялмара Меллина.

Определение[править | править код]

Прямое преобразование Меллина задаётся формулой:

.

Обратное преобразование — формулой:

.

Предполагается, что интегрирование происходит в комплексной плоскости. Условия, при которых можно делать преобразование, совпадают с условиями теоремы обратного преобразования Меллина (англ.).

Связь с другими преобразованиями[править | править код]

Двусторонний интеграл Лапласа может быть выражен через преобразование Меллина:

.

И наоборот: преобразование Меллина выражается через преобразование Лапласа формулой:

Преобразование Фурье может быть выражено через преобразование Меллина формулой:

.

Обратно:

.

Преобразование Меллина также связывает интерполяционные формулы Ньютона или биномиальные преобразования с производящей функцией последовательности с помощью цикла Пуассона — Меллина — Ньютона.

Примеры[править | править код]

Интеграл Каэна — Меллина[править | править код]

Если:

то[1]

,
где
 — гамма-функция.

Назван по именам Ялмара Меллина и французского математика Эжена Каэна (фр. Eugène Cahen).

Преобразование Меллина для лебегова пространства[править | править код]

В гильбертовом пространстве преобразование Меллина задаётся несколько иначе. Для лебегова пространства любая фундаментальная полоса включает в себя . В связи с этим возможно задать линейный оператор как:

.

То есть:

.

Обычно этот оператор обозначается и называется преобразованием Меллина, но здесь и в дальнейшем мы будем использовать обозначение .

теоремы обратного преобразования Меллина (англ.) показывает, что

Кроме того, этот оператор изометричен, то есть

для .

Это объясняет коэффициент

Связь с теорией вероятностей[править | править код]

В теории вероятностей преобразование Меллина является важным инструментом для изучения распределения случайных величин[2].

Если:

  •  — случайная величина,

то преобразование Меллина определяется как:

где  — мнимая единица.

Преобразование Меллина случайной величины однозначно определяет её функцию распределения .

Применение[править | править код]

Преобразование Меллина особенно важно для информационных технологий, особенно для распознавания образов.

Примечания[править | править код]

  1. Hardy, G. H. (1916). «Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes». Acta Mathematica 41 (1): 119–196. DOI:10.1007/BF02422942. (See notes therein for further references to Cahen’s and Mellin’s work, including Cahen’s thesis.)
  2. Galambos, Simonelli, 2004, стр. 15

Литература[править | править код]

  • Galambos, Janos. Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions / Janos Galambos, Simonelli. — Marcel Dekker, Inc., 2004. — ISBN 0-8247-5402-6.
  • Paris, R. B. Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals / R. B. Paris, Kaminski. — Cambridge University Press, 2001.
  • Polyanin, A. D. Handbook of Integral Equations / A. D. Polyanin, Manzhirov. — Boca Raton : CRC Press, 1998. — ISBN 0-8493-2876-4.
  • Flajolet, P. (1995). «Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums». Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58.
  • Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Mellin transform", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  • Weisstein, Eric W. Mellin Transform (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Ссылки[править | править код]