Внутренняя метрика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Внутренняя метрика — метрика пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфинум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть задано топологическое пространство X и выбран класс некоторых допустимых путей \Gamma, содержащийся во множестве всех непрерывных путей в X.

  • На пространстве X задан функционал длины, если на множестве \Gamma задана функция L \colon \Gamma \to \mathbb{R}_+ \cup \infty, ставящая в соответствие каждому \gamma \in \Gamma значение L(\gamma) (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути \gamma.
  • Метрика \rho на пространстве X называется внутренней, если для любых двух точек x,y\in X расстояние между ними определяется формулой \rho(x,y) = \inf \{ L(\gamma) \}, где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки x,y\in X.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пусть x,y\in X — две произвольные точки метрического пространства \rho, X и \varepsilon — произвольное положительное число. Точка z_\epsilon \in X называется их \varepsilon-серединой, если \rho(x,z_\varepsilon),\ \rho(y,z_\varepsilon)<\tfrac12\rho(x,y)+\varepsilon.
  • Метрическое пространство (X,\rho) называется геодезическим, если любые две точки X можно соединить кратчайшей.

Свойства[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4