Внутренняя метрика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Внутренняя метрика — метрика пространстве, определяемая с помощью функционала длины, как инфинум длин всех путей (кривых), соединяющих данную пару точек.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть задано топологическое пространство и выбран класс некоторых допустимых путей , содержащийся во множестве всех непрерывных путей в .

  • На пространстве задан функционал длины, если на множестве задана функция , ставящая в соответствие каждому значение (неотрицательное число или бесконечность), которое называется длиной пути .
  • Метрика на пространстве называется внутренней, если для любых двух точек расстояние между ними определяется формулой где инфинум берётся по всех допустимым путям, соединяющим точки .

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Пусть — две произвольные точки метрического пространства и — произвольное положительное число. Точка называется их -серединой, если
  • Метрическое пространство называется геодезическим, если любые две точки можно соединить кратчайшей.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если — пространство с внутренней метрикой, то для любых двух точек и любого существует их -середина. В случае, когда метрическое пространство полное, имеет место и обратное утверждение: если для любых двух точек и любого существует их -середина, то эта метрика внутренняя.
  • Полное метрическое пространство с внутренней метрикой обладает следующим свойством: для любых двух точек и найдётся кривая длины соединяющая точки и . Кроме того, в полном метрическом пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.
  • Теорема Хопфа — Ринова: Если локально компактное полное метрическое пространство с внутренней метрикой, то любые две точки можно соединить кратчайшей. Более того, пространство является ограниченно компактным (то есть все ограниченные замкнутые подмножества являются компактными).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Бураго Д.Ю., Бураго Ю.Д., Иванов С.В., Курс метрической геометрии. — Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2004. ISBN 5-93972-300-4