Однородное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородное пространство — множество вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы . Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа группой движений, или основной группой однородного пространства.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Любая точка однородного пространства определяет подгруппу
основной группы . Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки . Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе с помощью внутренних автоморфизмов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • С произвольной подгруппой группы связано некоторое однородное пространство группы — множество левых классов смежности группы по подгруппе , на котором действует по формуле
    , .
Это однородное пространство называется факторпространством группы по подгруппе , а подгруппа оказывается стабилизатором точки этого пространства ( — единица группы ).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое однородное пространство группы можно отождествить с факторпространством группы по подгруппе , являющейся стабилизатором фиксированной точки .
  • Если группа является топологической группой, а — её подгруппой (в частности если группа Ли, а — замкнутая подгруппа в ), то факторпространство каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы на является непрерывным (соответственно аналитическим).
    • Если группа Ли транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии , то для любой точки подгруппа замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.

Литература[править | править вики-текст]

  • Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — 2008.