Однородное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Однородное пространство — множество M вместе с заданным на нём транзитивным действием некоторой группы G. Элементы множества M называются точками однородного пространства, группа Gгруппой движений, или основной группой однородного пространства.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Любая точка x однородного пространства M определяет подгруппу
    G_x=\{g\in G|gx=x\}
основной группы G. Она называется группой изотропии, или стационарной подгруппой, или стабилизатором точки x. Стабилизаторы разных точек сопряжены в группе G с помощью внутренних автоморфизмов.

Примеры[править | править вики-текст]

  • С произвольной подгруппой H группы G связано некоторое однородное пространство группы G — множество M=G/H левых классов смежности группы G по подгруппе H, на котором G действует по формуле
    g(aH) = (ga)H, g,a\in G.
Это однородное пространство называется факторпространством группы G по подгруппе H, а подгруппа H оказывается стабилизатором точки eH=H этого пространства (e — единица группы G).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое однородное пространство M группы G можно отождествить с факторпространством группы G по подгруппе H=G_x, являющейся стабилизатором фиксированной точки x\in M.
  • Если группа G является топологической группой, а H — её подгруппой (в частности если Gгруппа Ли, а H — замкнутая подгруппа в G), то факторпространство M=G/H каноническим образом снабжается структурой топологического пространства (соответственно структурой аналитического многообразия), относительно которой действие группы G на M является непрерывным (соответственно аналитическим).
    • Если группа Ли G транзитивно и аналитически действует на аналитическом многообразии M, то для любой точки x\in M подгруппа H=G_x замкнута и указанная выше биекция аналитична; если при этом число связных компонент группы G не более чем счётно, то эта биекция является диффеоморфизмом.

Литература[править | править вики-текст]

  • Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — 2008.