Плюккеровы координаты — координаты (наборы чисел), определяющие подпространства
(произвольной размерности) векторного или проективного пространства
. Являются обобщением однородных координат точек проективного пространства и также определены с точностью до умножения на произвольный ненулевой множитель. Впервые введены Плюккером в частном случае проективных прямых в трёхмерном проективном пространстве, что соответствует случаю
и
для векторных пространств.
Пусть
—
-мерное подпространство
-мерного векторного пространства
. Для определения плюккеровых координат подпространства
выберем произвольный базис
в
и произвольный базис
в
. Каждый вектор
имеет в базисе
координаты
, то есть
. Записывая координаты векторов
в виде строк, получим матрицу

ранг которой равен
. Обозначим через
минор матрицы
, состоящий из столбцов с номерами
, принимающими значения от
до
. Числа
не независимы: если набор индексов
получен из
с помощью перестановки
, то имеет место равенство
, где знак «плюс» или «минус» соответствует тому, является ли перестановка
чётной или нечётной. Рассматриваемая с точностью до умножения на общий ненулевой множитель совокупность
чисел
для всех упорядоченных наборов индексов
, принимающих значения от
до
, называется плюккеровыми координатами подпространства
.
1. Независимость от выбора базиса.
Если в подпространстве
выбран другой базис
, то новый набор плюккеровых координат
будет иметь вид
, где
— некоторый ненулевой множитель. Действительно, новый базис связан со старым соотношениями
, и определитель матрицы
отличен от нуля. Согласно определению плюккеровых координат и теореме об определителе произведения матриц, имеем
, где
.
2. Грассманиан.
Ставя в соответствие каждому
-мерному подпространству
набор его плюккеровых координат
, мы сопоставляем
некоторую точку проективного пространства
размерности
. Построенное таким образом отображение
инъективно, но не сюръективно (то есть его образ не совпадает со всем пространством
). Образ множества всех
-мерных подпространств
-мерного пространства при отображении
является
-мерным проективным алгебраическим многообразием в
, называемым многообразием Грассмана или грассманианом и обозначаемым
или
.
3. Соотношения Плюккера.
Критерием, с помощью которого можно определить, принадлежит ли данная точка проективного пространства
грассманиану
, являются так называемые соотношения Плюккера:

где все индексы в наборах
и
принимают значения от
до
, знак
обозначает пропуск стоящего под ним индекса. Данная сумма получается, если из совокупности
выбрасывается поочередно по одному индексу и этот индекс приписывается справа к набору
, потом два получившихся числа
перемножаются (заметим, что эти числа являются минорами матрицы
, но не обязательно являются плюккеровыми координатами, так как наборы их индексов не обязательно упорядочены по возрастанию) и затем берётся сумма всех таких произведений с чередующимися знаками. Соотношения Плюккера выполнены для каждого
-мерного подпространства
. И обратно, если однородные координаты
,
, некоторой точки проективного пространства
удовлетворяют этим соотношениям, то эта точка при отображении
соответствует некоторому подпространству
, то есть принадлежит
.
На языке матриц это означает: если числа
удовлетворяют соотношениям Плюккера, то существует матрица, для которой они являются минорами максимального порядка, а если нет, то не существует такой матрицы. Что решает задачу о возможности восстановления матрицы по её минорам максимального порядка, с точностью до линейного преобразования строк.
В случае
и
имеем
, и следовательно, каждая плоскость
в 4-мерном векторном пространстве имеет
плюккеровых координат:
,
,
,
,
,
. Выбирая в плоскости
базис
таким образом, что
и
, получаем матрицу

откуда находим:
,
,
,
,
,
.
Очевидно, что имеет место соотношение
,
сохраняющееся при умножении всех
на любой общий множитель, то есть не зависящее от выбора базиса. Это и есть соотношение Плюккера, определяющее проективную квадрику
в 5-мерном проективном пространстве.
- Картан Э. Внешние дифференциальные системы и их геометрические проблемы. — М.: изд-во МГУ, 1962.
- Зеликин М. И. Однородные пространства и уравнение Риккати в вариационном исчислении. — М.: Факториал, 1998.
- Ходж В., Пидо Д. Методы алгебраической геометрии. — Т. 1. — М.: ИЛ, 1954. (Здесь плюккеровы координаты названы грассмановыми).
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.
- Casas-Alvero E. Analytic Projective Geometry. — : European Mathematical Society, 2014.