Граф Турана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Граф Турана
Изображение
Назван в честь

Пал Туран

Вершин

n

Рёбер

\left\lfloor\frac{(r - 1) n^2}{2 r}\right\rfloor

Радиус

\left\{\begin{array}{ll}\infty & r = 1\\ 2 & r \le n/2\\ 1 & \text{otherwise}\end{array}\right.

Диаметр

\left\{\begin{array}{ll}\infty & r = 1\\ 1 & r = n\\ 2 & \text{otherwise}\end{array}\right.

Обхват

\left\{\begin{array}{ll}\infty & r = 1 \vee (n \le 3 \wedge r \le 2)\\ 4 & r = 2\\ 3 & \text{otherwise}\end{array}\right.

Хроматическое число

r

Обозначение

= T(n,r)

Туран граф T(n,r) — это граф, образованный разложением n вершин на r подмножеств, с как можно близким размером, и вершины в этом графе соединены ребром, если они принадлежат разным подмножествам. Граф будет иметь (n\,\bmod\,r) подмножеств размером \lceil n/r\rceil и r-(n\,\bmod\,r) подмножеств размером \lfloor n/r\rfloor. Таким образом, это полный r-дольный граф

K_{\lceil n/r\rceil, \lceil n/r\rceil, \ldots, \lfloor n/r\rfloor, \lfloor n/r\rfloor}.

Каждая вершина имеет степень либо n-\lceil n/r\rceil, либо n-\lfloor n/r\rfloor. Число рёбер равно

\frac{1}{2}(n^2 - (n\,\bmod\,r)\lceil n/r\rceil^2 - (r-(n\,\bmod\,r))\lfloor n/r\rfloor^2) \leq \left(1-\frac1r\right)\frac{n^2}{2}.

Граф является регулярным, если n делится на r.

Теорема Турана[править | править вики-текст]

Графы Турана названы в честь Пала Турана, использовавшего их для доказательства теоремы Турана, важного результата в экстемальной теории графов[en].

По принципу Дирихле, любое множество из r + 1 вершин в графе Турана включает две вершины из одной и той же доли графа. Таким образом, граф Турана не содержит клику размера  r + 1. Согласно теореме Турана, граф Турана имеет максимально возможное число рёбер среди всех графов без клик размера r + 1, имеющих n вершин. Киваш и Судаков (Keevash, Sudakov, 2003) показали, что граф Турана является единственным графом без клик размера r + 1, имеющим порядок n, в котором любое подмножество из αn вершин имеет по меньшей мере \frac{r\,{-}\,1}{2r}(2\alpha -1)n^2 рёбер если α достаточно близко к 1. Теорема Эрдёша–Стоуна[en] расширяет теорему Турана, ограничивая число рёбер в графе, не имеющий фиксированный графТурана в качестве подграфа. Вследствие этой теоремы в теории экстремальных графов для любого запрещённого подграфа можно доказать похожие границы, зависящие от хроматического числа подграфа.

Особые случаи[править | править вики-текст]

The octahedron, a cross polytope whose edges and vertices form a Turán graph T(6,3).

Некоторые величины параметра r графов Турана приводят к замечательным графам, которые изучаются отдельно.

Граф Турана T(2n,n) можно получить удалением совершенное паросочетанание из полного графа K2n. Как показал Робертс (Roberts 1969), рамочность[en] этого графа равна в точности n. Этот граф иногда называют графом Робертса. Этот граф является также 1-скелетом[en] n-мерного кографа. Например, граф T(6,3) = K2,2,2 — это граф правильного октаэдра. Если n пар приходят на вечеринку и каждый человек пожимает руку всем, кроме своего партнёра, то данный граф описывает множество рукопожатий. По этой причине его также называют графом коктейль-вечеринки.

Граф Турана T(n,2) — это полный двудольный граф, и, если n чётно, это граф Мура. Если r — это делитель n, граф Турана является симметричным и сильно регулярным, хотя некоторые авторы считают, что графы Турана являются тривиальным случаем сильной регулярностиe и потому исключают их из определения строго регулярных графов.

Граф Турана T(n,\lceil n/3\rceil) имеет 3a2b наибольших клик, где 3a + 2b = n иb ≤ 2. Каждая наибольшая клика образуется выбором одной вершины из каждой доли. Это число наибольших клик является наибольшим возможным среди всех графов с n вершинами, независимо от числа рёбер в графе (Мун и Мозер, 1965). Эти графы иногда называют графами Муна–Мозера.

Другие свойства[править | править вики-текст]

Любой граф Турана является кографом. Таким образом, его можно образовать из отдельных вершин последовательностью операций дизъюнктного объединения и дополнения. В частности, такую последовательность можно начать образованием всех независимых множеств графа Турана как дизъюнктного объединения изолированных вершин. Тогда, весь граф является дополнением дизъюнктного объединения дополнений этих независимых множеств.

Чао и Новацки (Chao, Novacky, 1982) показали, что графы Турана хроматически единственны — никакие другие графы не имеют те же самые хроматические полиномы[en]. Никифоров (Nikiforov, 2005) использовал графы Турана для нахождения нижней границы суммы kсобственных значений графа и его дополнения.

Фолс, Повел и Снойинк (Falls, Powell, Snoeyink) разработали эффективный алгоритм для поиска кластеров ортологических групп генов в геноме путём представления данных как графа и поиска больших подграфов Турана.

Графы Турана имеют также ряд интересных свойств, связанных с геометрической теорией графов[en]. Пор и Вуд (Pór, Wood, 2005) дают нижнюю границу Ω((rn)3/4) любого трёхмерного вложения графа Турана. Витсенхаузен (Witsenhausen, 1974) высказал гипотезу, что максимальная сумма квадратов расстояний между n точками внутри шара в Rd единичного диаметра достигается на конфигурации, образованной вложению графа Турана в вершины правильного симлекса.

Граф G с n вершинами является подграфом графа Турана T(n,r) тогда и только тогда, когда G допускает справедливую раскраску[en] в r цветов. Разложение графа Турана на независимые множества соответствует разложению G на классы цветов. В частности, граф Турана является единственным максимальным графом с n вершинами со справедливой раскраской в r цветов.

Ссылки[править | править вики-текст]

  • C. Y. Chao, G. A. Novacky On maximally saturated graphs // Discrete Mathematics. — 1982. — Т. 41, вып. 2. — С. 139–143. — DOI:10.1016/0012-365X(82)90200-X.
  • Craig Falls, Bradford Powell, Jack Snoeyink Computing high-stringency COGs using Turán type graphs.
  • Peter Keevash, Benny Sudakov Local density in graphs with forbidden subgraphs // Combinatorics, Probability and Computing. — 2003. — Т. 12, вып. 2. — С. 139–153. — DOI:10.1017/S0963548302005539.
  • J. W. Moon, L. Moser On cliques in graphs // Israel Journal of Mathematics. — 1965. — Т. 3. — С. 23–28. — DOI:10.1007/BF02760024.
  • Vladimir Nikiforov Eigenvalue problems of Nordhaus-Gaddum type. — 2005. — arΧivmath.CO/0506260.
  • Attila Pór, David R Wood. Proc. Int. Symp. Graph Drawing (GD 2004). — Lecture Notes in Computer Science no. 3383, Springer-Verlag, 2005. — С. 395–402. — DOI:10.1007/b105810
  • F. S. Roberts. Recent Progress in Combinatorics. — Academic Press, 1969. — С. 301–310.
  • P. Turán On an extremal problem in graph theory // Matematiko Fizicki Lapok. — 1941. — Т. 48. — С. 436–452.
  • H. S. Witsenhausen On the maximum of the sum of squared distances under a diameter constraint // American Mathematical Monthly. — The American Mathematical Monthly, Vol. 81, No. 10, 1974.. — Т. 81, вып. 10. — С. 1100–1101. — DOI:10.2307/2319046.

Внешние ссылки[править | править вики-текст]