Двойственность Александера

Двойственность Александера — соотношение между гомологиями подпространства и когомологиями его дополнения. Открыта в 1915 году Джеймсом Александером и обобщена Павлом Сергеевичем Александровым и Львом Семёновичем Понтрягиным.

Формулировка

Обозначим через ${\tilde {H}}$ приведённые гомологии или когомологии с коэффициентами в произвольно заданной абелевой группе.

Пусть $X$ — компактное, локально стягиваемое подпространством сферы $\mathbb {S} ^{n}$. Тогда, ${\tilde {H}}_{q}(X)\cong {\tilde {H}}^{n-q-1}(\mathbb {S} ^{n}\backslash X)$ в любой размерности $q$.

Замечания

• Условие локальной стягиваемости можно отбросить, если используются гомологии Александрова — Чеха, которая специально разработана для борьбы с локальными патологиями.