Когомологии Александрова — Чеха

Когомологии Александрова — Чеха — теория когомологий, основанная на свойствах открытых покрытий топологического пространства. Такие когомологии оказываются удобными при изучении патологических пространств.

Идея построения заключается в том, что если покрытие пространства составлено из достаточно маленьких множеств, то когомологии нерва покрытия являются хорошей аппроксимацией когомологий самого пространства.

Названы в честь Александровa и Чеха. Обычно обозначаются ${\check {H}}^{*}$.

Построение

Пусть $X$ — топологическое пространство, ${\mathcal {V}}$ — открытое покрытие $X$. Обозначим через $N_{\mathcal {V}}$ нерв покрытия ${\mathcal {V}}$.

Предположим, покрытие ${\mathcal {W}}$ вписано в покрытие ${\mathcal {V}}$, то есть любое множество из ${\mathcal {W}}$ содержится в некотором множестве из ${\mathcal {V}}$. Выберем отображение, сопоставляющее каждому множеству из ${\mathcal {W}}$ содержащее его множество из ${\mathcal {V}}$. Это отображение индуцирует отображение нервов $f\colon N_{\mathcal {W}}\to N_{\mathcal {V}}$. Индуцированный гомоморфизм колец когомологий $f^{*}\colon H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)\to H^{*}(N_{\mathcal {W}},G)$ не зависит от выбора $f$. (Поскольку мы работаем с симплициальными комплексами, неважно, какую из теорий когомологий мы выбираем.)

Кольца когомологий $H^{*}(N_{\mathcal {V}},G)$ с гомоморфизмами $f^{*}$ образуют обратную систему. Это даёт возможность перейти к обратному пределу

${\check {H}}^{*}(X,G)=\varprojlim H^{*}(N_{\mathcal {V}},G).$

Полученное кольцо ${\check {H}}^{*}(X,G)$ называется когомологиями Чеха пространства $X$ с коэффициентами в $G$.

Связь с другими теориями когомологий

Польская окружность

• Для патологических пространств когомологии Чеха могут отличатся от сингулярных когомологий.
  • Например, если X — польская окружность, то ${\check {H}}^{1}(X;\mathbb {Z} )=\mathbb {Z}$, тогда как $H^{1}(X;\mathbb {Z} )=0.$
• Если X гомотопически эквивалентен СW-комплексу, то когомологии Чеха ${\check {H}}^{*}(X;A)$ естественно изоморфны сингулярным когомологиям $H^{*}(X;A)$.
• Если X является гладким многообразием, то когомологии Чеха ${\check {H}}^{*}(X;\mathbb {R} )$ естественно изоморфны когомологиям де Рама.

Ссылки

• Александров П. С., «Аnn. of Math.», 1928, v. 30, p. 101-87;
• Сесh Е., «Fundam. math.», 1932, t. 19, p. 149-83;
• Bott, Raoul; Loring Tu. Differential Forms in Algebraic Topology (неопр.). — New York: Springer, 1982. — ISBN 0-387-90613-4.
• Hatcher, Allen Algebraic Topology (неопр.). — Cambridge University Press, 2002. — ISBN 0-521-79540-0.
• Wells, Raymond Differential Analysis on Complex Manifolds (англ.). — Springer-Verlag, 1980. — ISBN 0-387-90419-0. Chapter 2 Appendix A