Нильпотентный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Нильпотентный элемент — элемент кольца, некоторая степень которого обращается в ноль.

Рассмотрение нильпотентных элементов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, так как они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Термин ввёл Бенджамин Пирс в работе по классификации алгебр[1].

Определение[править | править код]

Элемент x кольца R называется нильпотентным, если существует положительное целое число n, такое, что [2].

Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .

Примеры[править | править код]

нильпотентна, поскольку . Подробнее в статье Нильпотентная матрица.
  • В факторкольце Z/9Z класс эквивалентности числа 3 нильпотентен, поскольку 32 сравнимо с 0 по модулю 9.
  • Предположим, что два элемента a и b в кольце R удовлетворяют условию . Тогда элемент нильпотентен, поскольку . Пример для матриц (в качестве a и b):
Здесь .

Свойства[править | править код]

  • Если элемент x нильпотентен, то является обратимым элементом, поскольку из следует:
  • Более обще, сумма обратимого элемента и нильпотентного элемента является обратимым элементом, если они коммутируют.

Коммутативные кольца[править | править код]

Нильпотентные элементы коммутативного кольца образуют идеал , что является следствием бинома Ньютона. Этот идеал является нильрадикалом кольца. Любой нильпотентный элемент в коммутативном кольце содержится в любом простом идеале этого кольца, поскольку . Таким образом, содержится в пересечении всех простых идеалов.

Если элемент не нильпотентен, мы можем локализовать с учётом степеней : , чтобы получить ненулевое кольцо . Простые идеалы локализованного кольца соответствуют в точности этим простым идеалам кольца с [3]. Так как любое ненулевое коммутативное кольцо имеет максимальный идеал, который является простым, любой ненильпотентный элемент не содержится в некотором простом идеале. Тогда является в точности пересечением всех простых идеалов[4].

Характеристика, подобная Радикалу Джекобсона и аннигиляции простых модулей, доступна для нильрадикала — нильпотентные элементы кольца R это в точности те, которые аннигилируют все области целостности внутрь кольца R. Это следует из факта, что нильрадикал является пересечением всех простых идеалов.

Нильпотентные элементы Алгебры Ли[править | править код]

Пусть Алгебра Ли. Тогда элемент называется нильпотентным, если он в и является нильпотентным преобразованием. См. также Разложение Жордана в алгебре Ли[en].

Нильпотентность в физике[править | править код]

Операнд Q, удовлетворяющий условию нильпотентен. Числа Грассмана[en], которые допускают представление фермионных полей через интегралы по траекториям, являются нильпотентными, поскольку их квадрат обращается в нуль. БРСТ заряд является важным примером в физике.

Линейные операторы образуют ассоциативную алгебру, а тогда и кольцо, это специальный случай первоначального определения[5][6]. Более обще, принимая во внимание определения выше, оператор Q нильпотентен, если существует , такой, что (нулевая функция). Тогда линейное отображение нильпотентно тогда и только тогда, когда оно имеет нильпотентную матрицу в некотором базисе. Другим примером служит внешняя производная (снова с ). Оба примера связаны через суперсимметрию и теорию Морса[7] как показал Эдвард Виттен в признанной статье[8].

Электромагнитное поле плоской волны без источников нильпотентно, если выражено в терминах алгебры физического пространства[en][9]. Более обще, техника микроаддитивности, использует нильпотентные инфинитезимали и является частью гладкого инфинитезимального анализа.

Алгебраические нильпотенты[править | править код]

Двухмерные дуальные числа содержат нильпотентное пространство. Другие алгебры и числа, которые содержат нильпотентные пространства, включают сплит-кватернионы[en] (кокватернионы), расщеплённые октанионы[en], бикватернионы и комплексные октанионы .

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1977—1985.
  • Cesar Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. An Introduction to Group Rings. — Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. — ISBN 978-1-4020-0238-0.
  • Hideyuki Matsumura. Chapter 1: Elementary Results // Commutative Algebra. — W. A. Benjamin, 1970. — ISBN 978-0-805-37025-6.
  • Atiyah M. F., MacDonald I. G. Chapter 1: Rings and Ideals // Introduction to Commutative Algebra. — Westview Press, 1994. — ISBN 978-0-201-40751-8.
    • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — Москва: «Мир», 1972.
  • Peirce B. Linear Associative Algebra. — 1870.
  • A. Rogers. The topological particle and Morse theory // Class. Quantum Grav. — 2000. — Вып. 17. — doi:10.1088/0264-9381/17/18/309.
  • E. Witten. Supersymmetry and Morse theory // J.Diff.Geom. — 1982. — Вып. 17.
  • Rowlands P. Zero to Infinity: The Foundations of Physics. — London: World Scientific, 2007. — ISBN 978-981-270-914-1.