Нильпотентный элемент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Нильпотентный элемент или нильпотент ― элемент кольца, удовлетворяющий равенству для некоторого натурального . Минимальное значение , для которого справедливо это равенство, называется индексом нильпотентности элемента .

Рассмотрение нильпотентов часто оказывается полезным в алгебраической геометрии, т. к. они позволяют получить чисто алгебраические аналоги ряда понятий, типичных для анализа и дифференциальной геометрии (бесконечно малые деформации и т. п.).

Примеры[править | править вики-текст]

  • В кольце вычетов по модулю , где ― некоторое простое число, класс вычетов числа ― нильпотент индекса ,
  • Матрица
является нильпотентом индекса в кольце -матриц

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • элемент кольца называется унипотентным (или унипотентом) если является нильпотентным,
    • Например, унипотентной является матрица

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если ― нильпотентный элемент индекса n, то справедливо равенство
,
т. е. элемент обратим и обратный к нему элемент записывается в виде многочлена от .
  • В коммутативном кольце элемент а нильпотентен тогда и только тогда, когда он содержится во всех простых идеалах.
  • Все нильпотентные элементы образуют идеал , называемым нильрадикалом кольца совпадающий с пересечением всех простых идеалов. Кольцо уже не имеет нильпотентных элементов, отличных от нуля.
  • При интерпретации коммутативного кольца как кольца функций на пространстве его спектре нильпотентам соответствуют функции, тождественно равные нулю.