Дифференциальная теория Галуа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике: дифференциальная теория Галуа изучает группы Галуа дифференциальных уравнений.


Предпосылки и основная идея[править | править вики-текст]

В 1830-х годах Лиувилль создал теорию интегрирования в элементарных функциях, важным достижением которой было доказательство невозможности взятия в элементарных функциях интегралов от таких функций, как

,
,
.

Нужно иметь в виду, что понятие элементарной функции — всего лишь соглашение. Если добавить функцию ошибок к классу элементарных функций, то первообразная от функции ошибок станет элементарной. Тем не менее, можно бесконечно расширять таким образом класс элементарных функций, но всегда будут оставаться функции, первообразные которых не относятся к элементарным[источник не указан 1015 дней].

Обобщение его идей, предпринятое в начале XIX века, и привело к созданию дифференциальной теории Галуа, которая, в частности, позволяет выяснить, имеет ли функция первообразную, которая выражается через элементарные функции. Дифференциальная теория Галуа основана на теории Галуа. Алгебраическая теория Галуа исследует расширения алгебраических полей, а дифференциальная теория Галуа — расширения дифференциальных полей, то есть полей, для которых введено дифференцирование, . В дифференциальной теории Галуа много похожего на алгебраическую теорию Галуа. Существенное различие этих построений состоит в том, что в дифференциальной теории Галуа используются матричные группы Ли, а в алгебраической теории Галуа — конечные группы.

Определения[править | править вики-текст]

Для любого дифференцируемого поля , есть подполе

,

которое называется полем констант . Для двух дифференциальных полей и , называется логарифмическим расширением , если является простым трансцендентным расширением (то есть для некоторого трансцендентного ), так что

для некоторого .

Это разновидность логарифмической производной. Для интуитивного понимания можно представить себе , как логарифм некоторого из , и тогда это условие аналогично правилу взятия производной сложной функции. При этом нужно иметь в виду, что логарифм, содержащийся в не обязательно единственный; с ним могут соседствовать несколько различных «логарифмообразных» расширений . Аналогично, экспоненциальным расширением называется трансцендентное расширение, которое удовлетворяет формуле

.

Таким образом можно представить себе этот элемент как экспоненту от из . Наконец, называется элементарным дифференциальным расширением , если имеется конечная цепочка подполей от до , где каждое расширение является алгебраическим, логарифмическим или экспоненциальным.

Примеры[править | править вики-текст]

Поле рациональных функций одной переменной с дифференцированием по этой переменной. Константами этого поля являются комплексные числа .

Основная теорема[править | править вики-текст]

Предположим, что и  — дифференциальные поля, для которых , и является элементарным дифференциальным расширением . Пусть , и, кроме того, (то есть, содержит первообразную ). Тогда существуют , такие, что

Другими словами, «элементарная первообразная» есть только у тех функций, которые имеют вид, указанный в теореме. Таким образом, теорема утверждает, что только элементарные первообразные являются «простыми» функциями плюс конечное число логарифмов простых функций.

Ссылки[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]