Дифференциальная алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по .

Определения[править | править вики-текст]

Дифференциальные кольца[править | править вики-текст]

Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)

удовлетворяющими правилу произведения

для любых . Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило может не выполняться. В безындексной форме записи, если  — умножение в кольце, то правило произведения примет вид

где  — отображение пары в пару .

Дифференциальные поля[править | править вики-текст]

Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме

так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:

Полем констант дифференциального поля называется .

Дифференциальная алгебра[править | править вики-текст]

Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых и :

В безындексной форме записи, если  — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то

Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых и :

и

Дифференцирование в алгебре Ли[править | править вики-текст]

Дифференцирование алгебры Ли  — это линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница:

Для любого  — дифференцирование на , что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Примеры[править | править вики-текст]

Если  — алгебра с единицей, то , так как . Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.

Любое поле можно рассматривать как поле констант.

В поле существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством : из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по . Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что

В дифференциальном поле нет решения дифференциального уравнения , но можно расширить его до поля, содержащего функцию , имеющего решение этого уравнения.

Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.

Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.

Кольцо псевдодифференциальных операторов[править | править вики-текст]

Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:

Умножение в этом кольце определяется как

Здесь  — биномиальный коэффициент. Отметим тождество

следующее из

и

Градуированное дифференцирование[править | править вики-текст]

Пусть  — градуированная алгебра,  — однородное линейное отображение, . называется однородной производной, если , при действии на однородные элементы . Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым .

Если , определение совпадает с обычным дифференцированием.

Если , то , для нечётных . Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.

Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.

Градуированные производные супералгебр (то есть -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Buium Differential Algebra and Diophantine Geometry, — Hermann (1994).
  • И. Капланский Дифференциальная алгебра, — Hermann (1957).
  • Е. Колчин Дифференциальная алгебра и алгебраические группы, — 1973.
  • Д. Маркер Теория моделей для дифференциальных полей, Теория моделей полей, Lecture notes in Logic 5, D. Marker, M. Messmer and A. Pillay, Springer Verlang (1996).
  • А. Магид Лекции по дифференциальной теории Галуа, — Американское мат. общество, 1994.