Внутренность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Внутренняя точка»)
Перейти к навигации Перейти к поиску

Вну́тренность множества — понятие в общей топологии, обозначающее объединение всех открытых подмножеств данного множества. Точки внутренности называются внутренними точками.

Определение[править | править код]

Пусть дано топологическое пространство где  — произвольное множество, а  — определённая на нём топология. Пусть также дано подмножество .

Ниже рассматривается открытость подмножеств как подмножеств всего (например, обязательно открыто как подмножество себя, но не обязательно открыто во всём топологическом пространстве), при этом явно не указывается, а открытость в нём обозначается как принадлежность .

Тогда внутренность множества можно определить несколькими эквивалентными способами:

  • Внутренность — объединение всех открытых подмножеств :
    .
  • Внутренность — наибольшее по включению открытое подмножество :
    .
Точка  — внутренняя, а точка  — не внутренняя (в данном случае — граничная)
  • Внутренность — множество всех внутренних точек, где точка называется внутренней тогда и только тогда, когда существует открытое множество , такое что :
    .

Эквивалентность определений следует из того факта, что объединение любого семейства открытых множеств открыто.

Свойства[править | править код]

  • Операция внутренности является унарной операцией на семействе всех подмножеств .
  • Внутренность  — открытое множество.
  • Множество открыто тогда и только тогда, когда оно совпадает со своей внутренностью:
    .
    • Иначе говоря, в открытом множестве все точки внутренние, а любое множество, все точки которого внутренние, является открытым.
  • Операция внутренности идемпотентна:
    .
  • Операция внутренности сохраняет частичный порядок подмножеств по включению:
    .
  • В метрическом пространстве определение внутренней точки принимает следующий вид. Пусть  — метрическое пространство с метрикой , и  — его подмножество. Точка является внутренней для тогда и только тогда, когда существует , такое что . Иначе говоря, входит в вместе с шаром радиуса с центром в .

Примеры[править | править код]

  • Если  — конечное подмножество евклидова пространства со стандартной топологией, то .
  • Если  — вещественная прямая со стандартной топологией, и , то
  • Если  — дискретное пространство, то для любого имеем .

Вариации[править | править код]

Относительная внутренность[править | править код]

Относительной внутренностью множества называется объединение всех его открытых в его афинной оболочке подмножеств.

Квазотносительная внутренность[править | править код]

Алгебраическая внутренность[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Кудрявцев Л. Д. — Математический анализ. Том 1.

См. также[править | править код]