Кинематика сплошной среды (от др.-греч. κίνημα — движение) — раздел кинематики, изучающий движение сплошной среды (модели деформируемого тела, жидкости или газа), не вдаваясь в вызывающие его причины. В силу относительности движения, обязательно указание системы отсчёта, относительно которой описывается движение.
Модель оперирует понятием элементарного объема
, который мал по сравнению с характерным размером задачи, но в котором много частиц (атомов, молекул, пр.), взаимодействующих друг с другом. Длина свободного пробега (среднее расстояние, которое проходит частица между столкновениями) при этом должна быть много меньше характерного размера
. Такую модель можно описывать частицами сплошной среды — элементарными объёмами сплошной среды в которых характеристики сплошной среды (множества частиц рассматриваемого объекта) можно считать постоянными.
Для идентификации частиц сплошной среды, требуется их пронумеровать. Вследствие трёхмерности пространства, используются три переменные
. Такие идентификационные параметры частиц среды называются лагранжевыми (или материальными) координатами. В качестве лагранжевых координат можно выбрать, например, декартовы координаты частиц в некоторый момент времени
. Вообще говоря, способ «нумерации» частиц среды может быть произвольным.
Координаты точек среды
в пространственной системе координат называются эйлеровыми (или пространственными) координатами. Решением задачи кинематики сплошной среды является установление координат
материальной частицы
в любой момент времени, то есть нахождении функций
или же функций
, сопоставляющих каждой частице её положение во времени.
Любую функцию, описывающую свойства частиц сплошной среды (плотность, температуру, ускорение, и т. д.) можно определять как функцию лагранжевых координат
(лагранжев подход), так и функцию эйлеровых координат
(эйлеров подход).
Для любой функции в эйлеровых переменных
выполняется
.
Траекториeй частицы называется геометрическое место ее положений во все моменты времени. Траектория частицы определяется законом движения
Линией тока в момент времени
называется кривая, направление касательной которой в каждой точке совпадает в направлением вектора скорости сплошной среды
в этот момент времени. Линии тока определяются из уравнений
.
Формула Коши-Гельмгольца связывает скорость частиц среды в точке
, находящейся в малой окрестности некоторой точки
, если известна скорость частиц в точке
.
![{\displaystyle {\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{O}+{\hat {E}}\,{\vec {r}}+{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55f1ac25b4650996e252f079fcc9d67aa7f6de0d)
где
— тензор скоростей деформаций, а
— тензор малых деформаций,
— вектор вихря.
Точка
представима как
.
В линейном приближении
, или через оператор набла:
.
Перемещение точки
относительно
имеет вид
, из показанного выше
или покоординатно
.
Можно переписать
![{\displaystyle dr_{i}=\sum _{j}(e_{ij}r_{j}+f_{ij}r_{j})dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/145a68078c3becbfd15ba1532e8862b0b98932f8)
где
, а
.
После преобразования
![{\displaystyle \sum _{j}f_{ij}r_{j}=\left[{\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right]_{i}{\Bigg |}_{i=1,2,3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/173e4b64df083e222743963d447d8eab19945153)
Получается формула Коши-Гельмгольца:
![{\displaystyle d{\vec {r}}={\hat {E}}\,{\vec {r}}\,dt+\left({\frac {1}{2}}(\nabla \times {\vec {v}})\times {\vec {r}}\right)dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85888ce5601e0301b3b43b7a74edad430a118165)
Таким образом,
, или для скоростей:
.
Cлучай чистой деформации возникает при отсутствии вращательной части движения
. В главной системе координат (в соответствующих главных осях) справедливо:
![{\displaystyle {\hat {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}\varepsilon _{1}&0&0\\0&\varepsilon _{2}&0\\0&0&\varepsilon _{3}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f33c89adac042a05bcf877779bb28b138cd5b326)
По формуле Коши-Гельмгольца
.
В случае чистой деформации точки малой частицы сплошной среды, лежащие в момент
на сфере радиуса
перейдут за
в эллипсоид, называемый эллипсоидом деформации. Точки частицы сплошной среды, лежащие на главных осях деформации, останутся после деформации на тех же осях, испытая лишь смещение вдоль них.
Длины главных осей эллипсоида описываются
— корнями
.
В том случае, когда
, определяющие чистую деформацию и вращение частицы являются постоянными, деформация называется однородной.
При однородной деформации:
- Точки среды, лежащие на плоскости или на прямой, остаются после деформации соответственно на некоторой плоскости или на прямой;
- Направления главных осей деформации для любой точки среды будут одинаковы;
- Если
в некоторый момент времени одинаков во всех точках среды, то в этот момент и
одинаков во всех точках среды.
В силу определения
, эти тензоры имеют только 6 различающихся компонент. Эти 6 компонент все еще не являются независимыми, так как выражаются через три компоненты скорости
. В силу зависимости они удовлетворяют соотношениям, которые называются условиями совместности Сен-Венана:
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}e_{ij}}{\partial x_{k}\partial x_{l}}}={\frac {\partial ^{2}e_{kl}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}e_{kj}}{\partial x_{i}\partial x_{l}}}={\frac {\partial ^{2}e_{il}}{\partial x_{k}\partial x_{j}}}{\Bigg |}_{i,j,k,l=1,2,3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86e1c6b66a026019a9d230e98b9e44ffb661327d)
Из этих 81 уравнений лишь 6 являются независимыми.
- Лекции по механике сплошных сред, М. Э. Эглит, Лекция 1, 7-11
- Механика сплошных сред, Л. И. Седов, Том 1, Глава 2