Линейное приближение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Линейное приближение (линейная аппроксимация) — приближение произвольной функции линейной функцией. Применяется для приближённых расчётов, в методе конечных разностей для решения дифференциальных уравнений.

График  — касательная в точке

Для непрерывно дифференцируемой в окрестности точки функции вещественной переменной линейное приближение определяется как:

.

Определение получается из равенства из теоремы Тейлора игнорированием остаточного члена . Поскольку в ближайшей окрестности точки значения этой функции близки к значениям , её можно использовать как замену значений в приближённых вычислениях. При этом в общем случае погрешность возрастает при удалении от и равна . График функции  — касательная к графику в точке .

Определение естественным образом обобщается на многомерный случай (вместо производной используется матрица Якоби) и на случай банаховых пространств (с использованием производной Фреше).

Литература

[править | править код]
  • Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. Calculus III (неопр.). — Berlin: Springer-Verlag, 1984. — С. 775. — ISBN 0-387-90985-0.
  • Strang, Gilbert. Calculus (англ.). — Wellesley College, 1991. — P. 94. — ISBN 0-9614088-2-0.
  • Bock, David; Hockett, Shirley O. How to Prepare for the AP Calculus (англ.). — Hauppauge, NY: Barrons Educational Series, 2005. — P. 118. — ISBN 0-7641-2382-3.