Лемма Гаусса о геодезических
Перейти к навигации
Перейти к поиску
Ле́мма Га́усса о геодези́ческих утверждает, что любая достаточно малая сфера с центром в точке риманова многообразия перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через эту точку.
Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.
Формулировка[править | править код]
Пусть обозначает касательное пространство в точке риманова многообразия и — экспоненциальное отображение.
Заметим, что для любого вектора касательное пространство к касательному пространству можно отождествить с самим касательным пространством .
Для любых
где обозначает дифференциал экспоненциального отображения.