Лемма Гаусса о геодезических

Для термина «Лемма Гаусса» см. также другие значения.

Ле́мма Га́усса о геодези́ческих утверждает, что любая достаточно малая сфера в риманова многообразии перпендикулярна каждой геодезической, проходящей через её центр.

Лемма используется в доказательстве того, что геодезические являются локально кратчайшими кривыми, также она имеет фундаментальное значение при изучении геодезической выпуклости и нормальных координат.

Формулировка

Пусть $T_{p}$ обозначает касательное пространство в точке $p$ риманова многообразия $(M,g)$ и $\exp _{p}\colon T_{p}\to M$ — экспоненциальное отображение.

Заметим, что для любого вектора $x\in T_{p}$ касательное пространство $T_{x}T_{p}$ к касательному пространству $T_{p}$ можно отождествить с самим $T_{p}$.

Для любых $x,v\in T_{p}$

$g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

где $d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x}$ обозначает дифференциал экспоненциального отображения.

Ссылки

• Вывод леммы Гаусса через гамильтонову механику на YouTube