Дедекиндово сечение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Дедеки́ндово сече́ние (или у́зкая щель) — один из способов построения вещественных чисел из рациональных.

Множество вещественных чисел определяется как множество дедекиндовых сечений. На них возможно продолжить операции сложения и умножения.

История[править | править вики-текст]

Метод был введён Дедекиндом[1]. Это же построение неявно присутствует в «Началах» Евлида, а именно, в книге V определение 5 звучит следующим образом:

Говорят, что величины находятся в том же отношении первая ко второй и третья к четвёртой, если равнократные первой и третьей одновременно больше, одновременно равны или одновременно меньше равнократных второй и четвёртой каждая каждой при какой бы то ни было кратности, если взять их в соответствующем порядке (9, 10, 11, 12).[2]

Определение[править | править вики-текст]

Дедекиндово сечение — это разбиение множества рациональных чисел \mathbb{Q} на два подмножества A и B такие, что:

  1. a<b для любых a\in A и b\in B;
  2. B не имеет минимального элемента.

Примеры[править | править вики-текст]

Дедекиндово сечение √2

Вещественному числу \sqrt 2 соответствует дедекиндово сечение, определяемое

A=\{x\in\mathbb Q\mid x\leqslant0 \or x^2<2\} и
B=\{x\in\mathbb Q\mid  x>0 \and x^2>2\}.\,

Интуитивно можно представить себе, что для того, чтобы определить \sqrt 2, мы рассекли множество на две части: все числа, что левее \sqrt 2, и все числа, что правее \sqrt 2; соответственно, \sqrt 2 равен точной нижней грани множества B\,.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Dedekind, Richard, Essays on the Theory of Numbers, "Continuity and Irrational Numbers," Dover: New York, ISBN 0-486-21010-3. Also available at Project Gutenberg.
  2. Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. М.-Л.: ГТТИ, 1949—1951. книги I—VI на www.math.ru или на mccme.ru; книги VII—X на www.math.ru или на mccme.ru; книги XI—XIV на www.math.ru или на mccme.ru.