Лоренцево сокращение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Лоренцево сокращение, Фицджеральдово сокращение, также называемое релятивистским сокращение длины движущегося тела или масштаба — предсказываемый релятивистской кинематикой эффект, заключающийся в том, что с точки зрения наблюдателя движущиеся относительно него предметы имеют меньшую длину (линейные размеры в направлении движения), чем их собственная длина. Множитель, выражающий кажущееся сжатие размеров, тем сильнее отличается от 1, чем больше скорость движения предмета.

Эффект значим, только если скорость предмета по отношению к наблюдателю сравнима со скоростью света.

Graph for explanation of Lorentz contraction.png

Строгое определение[править | править вики-текст]

Пусть стержень покоится в инерциальной системе отсчёта K и расстояние между концами стержня, измеренное в К ("собственная" длина стержня), равно l. Пусть далее стержень движется вдоль своей длины со скоростью v относительно некой другой (инерциальной) системы отсчёта K'. В таком случае расстояние l' между концами стержня, измеренное в системе отсчета K', составит

 l' = \sqrt{1 - (v/c)^2}\ l , где c — скорость света.

При этом, расстояния поперёк движения одинаковы в обоих системах отсчета K и K'.

Величина γ, обратная множителю с корнем, называется также Лоренц-фактором. С её использованием эффект можно сформулировать и так: время пролёта стержня мимо фиксированной точки системы отсчёта K' составит

 T' = \frac {1}{\gamma} \frac l v .

Вывод[править | править вики-текст]

Преобразования Лоренца[править | править вики-текст]

Сокращение длины может быть выведено из преобразований Лоренца несколькими способами:

\begin{align}
x' & =\gamma\left(x-vt\right),\\
t' & =\gamma\left(t-vx/c^{2}\right).
\end{align}

Через известную длину движущегося объекта[править | править вики-текст]

Путь в инерциальной системе отсчета S, x_{1} и x_{2} обозначают концы движущегося объекта. Тогда его длина L определяется через одновременное положение концов t_{1}=t_{2}\,. Собственную длину объекта в S' можно рассчитать через преобразования Лоренца. Преобразование временных координат из S в S' приводит к различающемуся времени. Но это не проблема, т.к. объект покоится в S' и не имеет значения, в какой момент времени произведены измерения. Поэтому достаточно сделать преобразования пространственных координат, что дает:[1]

x'_{1}=\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), x'_{2}=\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right).

По скольку t_{1}=t_{2}\,, и положив L=x_{2}-x_{1}\, и L_{0}^{'}=x_{2}^{'}-x_{1}^{'}, собственная длина в S' получается

L_{0}^{'}=L\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(1)},

В соответствии с этим измеренная длина в S полчается уменьшенной

L=L_{0}^{'}/\gamma. \qquad \qquad \text{(2)}

В соответствии и принципом относительности, объекты, покоящиеся в S, будут так же уменьшены в S'. Поменяв симметрично не штрихованные и штрихованные обозначения:

L_{0}=L'\cdot\gamma. \qquad \qquad \text{(3)}

Тогда уменьшенная длина, измеряемая в S' :

L'=L_{0}/\gamma.\qquad \qquad \text{(4)}

Через известную собственную длину[править | править вики-текст]

Если объект покоится в S и известна его собственная длина, то одновременность измерений концов объекта в S' необходимо рассчитать, потому что объект постоянно меняет свою позицию. В таком случае необходимо преобразовать и пространственные и временные координаты:[2]

\begin{align}
x_{1}^{'} & =\gamma\left(x_{1}-vt_{1}\right), &  &  & x_{2}^{'} & =\gamma\left(x_{2}-vt_{2}\right)\\
t_{1}^{'} & =\gamma\left(t_{1}-vx_{1}/c^{2}\right), &  &  & t_{2}^{'} & =\gamma\left(t_{2}-vx_{2}/c^{2}\right).
\end{align}

Т.к. t_{1}=t_{2} и L_{0}=x_{2}-x_{1} получаемые результаты не одновременны:

\begin{align}
\Delta x' & =\gamma L_{0}\\
\Delta t' & =\gamma vL_{0}/c^{2}
\end{align}

Для получения одновременных положений концов,необходимо вычесть из \Delta x' расстояние, пройденное вторым концом со скоростью v в течение времени \Delta t' :

\begin{align}
L' & =\Delta x'-v\Delta t'\\
 & =\gamma L_{0}-\gamma v^{2}L_{0}/c^{2}\\
 & =L_{0}/\gamma
\end{align}

Таким образом движущаяся длина в S' уменьшилась. Точно так же можно рассчитать симметричный результат для объекта, покоящегося в S':

L=L^{'}_{0}/\gamma.

Объяснение[править | править вики-текст]

Сокращение длин возникает из-за свойств псевдоевклидовой геометрии пространства Минковского, аналогичных удлинению сечения, например, цилиндра, когда оно проводится не строго поперёк оси, а косо. Говоря иначе, «один и тот же момент времени» с точки зрения системы отсчёта, где стержень движется, не будет являться одним и тем же моментом с точки зрения системы отсчёта, связанной со стержнем. То есть процедура измерения расстояния в одной системе отсчёта с точки зрения любой другой системы отсчёта является не процедурой измерения чистого расстояния, когда положения, например, концов стержня засекаются в один и тот же момент времени, а смесью измерения пространственного расстояния и промежутка времени, которые вместе составляют инвариантный, то есть не зависящий от системы отсчёта, пространственно-временной интервал.


Толкование[править | править вики-текст]

«Они [промежутки времени и отрезки длины] относительны примерно в том же смысле, в каком относительными (зависящими от расположения наблюдателей) являются суждения наблюдателей об угловом расстоянии, под которыми они видят одну и ту же пару предметов». При толковании лоренцевых сокращений этот пример из Физической энциклопедии может быть дополнен относительностью длины трека нестабильной частицы от её рождения до распада. В ИСО, сопутствующей частице, она покоится, а среда движется с релятивистской скоростью и её длина вдоль пути частицы претерпевает лоренцево сокращение, поэтому за время, соответствующее жизненному циклу покоящейся частицы, она пролетает в неподвижной для исследователей физической лаборатории расстояние, значительно превышающее номинальное. Линейные размеры детектора элементарных частиц в лабораторной системе отсчёта при этом остаются неизменными (однако уменьшаются в системе отсчёта, связанной с частицей).

Значение для физики[править | править вики-текст]

Лоренцево сокращение лежит в основе таких эффектов как парадокс Эренфеста и парадокс Белла, показывающих непригодность понятий классической механики к СТО. Они показывают невозможность, соответственно, раскрутить и придать ускорение гипотетическому «абсолютно твёрдому телу».

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Born, Max (1964), Einstein's Theory of Relativity, Dover Publications, ISBN 0-486-60769-0 
  2. Bernard Schutz. Lorentz contraction // [[1] в Google Книгах A First Course in General Relativity]. — Cambridge University Press, 2009. — P. 18. — ISBN 0521887054.

Литература[править | править вики-текст]

  • Физическая энциклопедия, т.2 — М.:Большая Российская Энциклопедия стр.608-609.

См. также[править | править вики-текст]