Мировая линия

Мировая линия объекта - это путь объекта в 4-мерном пространстве-времени . Это важное понятие в современной физике, и в особенности в теоретической физике .

Концепция «мировой линии» отличается от таких понятий, как «орбита» или «траектория» (например, орбита планеты в космосе или траектория автомобиля на дороге) наличием измерения времени и обычно охватывает большую область пространства-времени, в которой воспринимаемые прямые пути пересчитываются так, чтобы показать их (относительно) более абсолютные состояния положений для раскрытия природы специальной теории относительности или гравитационных взаимодействий.

Идея мировых линий зародилась в физике и была предложена Германом Минковским. Этот термин сейчас чаще всего используется в теориях относительности (т.е. специальной теории относительности и общей теории относительности).

Использование в физике

В физике мировая линия объекта (упрощенным до точки в пространстве, например, частица или наблюдатель) - это последовательность пространственно-временных событий, соответствующая истории объекта. Мировая линия - это особый тип кривой в пространстве-времени. Ниже будет объяснено эквивалентное определение: Мировая линия - это времениподо́бная кривая в пространстве-времени. Каждая точка мировой линии - это событие, которое может быть отмечено временем и пространственным положением объекта в это время.

Например, орбита Земли в космосе представляет собой приблизительно круг, трехмерную (замкнутую) кривую в космосе: Земля каждый год возвращается в одну и ту же точку в космосе относительно Солнца. Однако он прибывает туда в другое (позднее) время. Мировая линия Земли спиральна в пространстве-времени (кривая в четырехмерном пространстве) и не возвращается в ту же точку.

Пространство-время - это совокупность точек, называемых событиями, вместе с непрерывной и гладкой системой координат, определяющей события. Каждое событие может быть помечено четырьмя числами: координатой времени и тремя пространственными координатами; таким образом, пространство-время - это четырехмерное пространство. Математический термин для пространства-времени - это четырехмерное многообразие . Концепция может быть применена также к пространству более высоких измерений. Для упрощения четырехмерной визуализации две пространственные координаты часто опускаются. Событие представляется точкой на диаграмме Минковского, которая представляет собой плоскость, с нанесенной вверх временной координатой, например $t$, и горизонтальной пространственной координатой, например $x$. По выражению Ф. Р. Харви

Кривая M в [пространстве-времени] называется мировой линией частицы, если ее касательная в каждой точке времениподобна в будущем. Параметр длины дуги называется собственным временем и обычно обозначается как τ. Длина M называется собственным временем мировой линии или частицы. Если мировая линия M является отрезком прямой, то говорят, что частица находится в свободном падении.

Мировая линия очерчивает путь единственной точки в пространстве-времени. Мировой лист - это аналогичная двумерная поверхность, очерченная одномерной линией (например, струной), перемещающейся в пространстве-времени. Мировой лист открытой струны (со свободными концами) - полоса; замкнутая струна (петля) напоминает трубку.

Как только объект не упрощается до простой точки, а имеет объем, он очерчивает не мировую линию, а скорее мировую трубу.

Мировые линии как инструмент описания событий

Мировая линия, мировой лист и мировой объем получены из частиц, струн и бран .

Одномерная линия или кривая могут быть представлены координатами как функцией одного параметра. Каждое значение параметра соответствует точке в пространстве-времени, и варьирование параметра позволяет очертить линию. Таким образом, с математической точки зрения кривая определяется четырьмя координатными функциями $x^{a}(\tau ),\;a=0,1,2,3$ (где $x^{0}$ обычно обозначает временную координату) в зависимости от одного параметра $\tau$ . Координатная сетка в пространстве-времени - это набор кривых, которые можно получить, если три из четырех координатных функций взяты за константу.

Иногда термин мировая линия свободно используется для обозначения любой кривой в пространстве-времени. Эта терминология вызывает недоумение. Точнее, мировая линия - это кривая в пространстве-времени, которая отслеживает (временную) историю частицы, наблюдателя или небольшого объекта. Обычно в качестве параметра $\tau$ кривой берется собственное время объекта или наблюдателя по мировой линии.

Тривиальные примеры кривых в пространстве-времени

Три разные мировые линии изображают путешествие с разными постоянными четыремя скоростями. t - время и x расстояние.

Кривая, состоящая из горизонтального отрезка (линия с постоянной координатой времени), может представлять стержень в пространстве-времени и не будет мировой линией в собственном смысле. Параметр отслеживает длину стержня.

Линия с постоянной пространственной координатой (вертикальная линия в принятом выше соглашении) может представлять частицу в состоянии покоя (или неподвижного наблюдателя). Наклонная линия представляет частицу с постоянной координатной скоростью (постоянное изменение пространственной координаты с увеличением временной координаты). Чем больше линия отклонена от вертикали, тем больше скорость частицы.

Две мировые линии, которые начинаются раздельно а затем пересекаются, означают столкновение или «встречу». Две мировые линии, начинающиеся в одном и том же событии в пространстве-времени, каждая из которых впоследствии следует своим путем, могут представлять распад частицы на две другие или испускание одной частицы другой.

Мировые линии частицы и наблюдателя могут быть связаны с мировой линией фотона (путь света) и образовывать диаграмму, изображающую испускание фотона частицей, который впоследствии наблюдается наблюдателем (или поглощается другой частицей).

Мировые линии в специальной теории относительности

До сих пор мировая линия (и концепция касательных векторов) описывалась без средств количественной оценки интервала между событиями. Базовая математика такова: специальная теория относительности накладывает некоторые ограничения на возможные мировые линии. В специальной теории относительности описание пространства-времени ограничено специальными системами координат, которые не ускоряются (а значит, и не вращаются), называемыми инерциальными системами координат . В таких системах координат скорость света постоянна. Структура пространства-времени определяется билинейной формой η, которая дает действительное число для каждой пары событий. Билинейную форму иногда называют метрикой пространства-времени, но поскольку отдельные события иногда приводят к нулевому её значению, в отличие от метрик в метрических пространствах математики, билинейная форма не является математической метрикой пространства-времени.

Мировые линии свободно падающих частиц/объектов называются геодезическими . В специальной теории относительности это прямые линии в пространстве Минковского .

Часто единицы времени выбираются так, что скорость света представлена линиями под фиксированным углом, обычно под углом 45 градусов, образуя конус с вертикальной (временной) осью. Полезные кривые в пространстве-времени могут быть трех типов (другие типы будут частично одним, частично другим типом):

• светоподобные кривые, имеющие в каждой точке скорость света. Они образуют конус в пространстве-времени, разделяя его на две части. Конус является трехмерным в пространстве-времени, на чертежах он отображается как линия с двумя скрытыми измерениями, и как конус на чертежах с одним скрытым пространственным измерением.

Пример светового конуса, трехмерная поверхность всех возможных световых лучей, приходящих и исходящих из точки пространства-времени. Здесь он изображен с одним скрытым пространственным измерением.

Мгновенно сопутствующие инерциальные системы отсчета вдоль траектории («мировой линии») быстро ускоряющегося наблюдателя (в центре). Вертикальное направление отображает время, в то время как горизонтальное отображает расстояние, пунктирная линия - пространство-время наблюдателя. Маленькие точки - это определенные события в пространстве-времени. Обратите внимание на то, как изменяется мгновенно сопутствующая инерциальная система отсчета при ускорении наблюдателя.

• времениподобные кривые, со скоростью меньше скорости света. Эти кривые должны попадать в конус, обозначенный светоподобными кривыми. В нашем определении выше: мировые линии - это времениподобные кривые в пространстве-времени .
• пространственноподобные кривые, выходящие за пределы светового конуса. Такие кривые могут описывать, например, длину физического объекта. Окружность цилиндра и длина стержня представляют собой пространственные кривые.

В любом заданном событии мировой линии пространство-время (пространство Минковского) делится на три части.

• Будущее данного события формируется всеми событиями, которые могут быть достигнуты через времениподобные кривые, лежащие в пределах светового конуса будущего.
• Прошлое данного события формируется всеми событиями, которые могут повлиять на это событие (то есть, которые могут быть связаны мировыми линиями в пределах светового конуса прошлого с данным событием).
  • Световой конус данного события формируется всеми событиями, которые могут быть связаны через световые лучи с этим событием. Когда мы наблюдаем ночное небо, мы, по сути, видим только световой конус прошлого во всем пространстве-времени.
• Прочая область находится между двумя световыми конусами. Точки в прочей области выбранного наблюдателя ему/ей недоступны; только точки в прошлом могут посылать сигналы данному наблюдателю. В обычном лабораторном опыте, используя общие единицы и методы измерения, может казаться, что мы смотрим на настоящее, тогда как на самом деле всегда есть задержка распространения света. Например, мы видим Солнце таким, каким оно было около 8 минут назад, а не таким, каким оно является «сейчас». В отличие от настоящего в теории Галилея/Ньютона, прочая область довольно толстая; это не 3-мерный объем, а 4-мерная область пространства-времени.
  • В «прочую область» входит гиперплоскость одновременности, которая определяется для данного наблюдателя пространством, которое гиперболически-ортогонально его мировой линии. Гиперплоскость одновременности трехмерная, хотя на схеме это будет 2-плоскость, потому что нам пришлось отбросить одно измерение, чтобы сделать картину более понятной. Хотя световые конусы одинаковы для всех наблюдателей в данном пространственно-временном событии, разные наблюдатели с разными скоростями, но находящиеся в одном событии (точке) в пространстве-времени, имеют пересекающие под углом друг друга мировые линии. Угол между этими линиями определяется относительными скоростями наблюдателей, и, следовательно, наблюдатели имеют разные гиперплоскости одновременности.
  • Настоящее часто означает единичное выбранное пространственно-временное событие.

Гиперплоскость одновременности

Мировая линия $w(\tau )\in R^{4}$ определяет 4-вектор скорости $v={\frac {dw}{d\tau }}$ который времениподобен. Форма Минковского $\eta (v,x)$ определяет линейную функцию $R^{4}\rightarrow R$ от $x\mapsto \eta (v,x).$ Пусть N - нулевое пространство (англ. null space, см. так же ядро в алгебре) этого линейного функционала. Тогда N называется гиперплоскостью одновременности относительно v. Относительность одновременности - это утверждение, что N зависит от v . В самом деле, N - ортогональное дополнение к v относительно η . Когда две мировые линии u и w связаны соотношением ${\frac {du}{d\tau }}={\frac {dw}{d\tau }},$ то они разделяют одну и ту же гиперплоскость одновременности. Эта гиперплоскость существует математически, но физические отношения в теории относительности включают перемещение информации про помощи света. Например, традиционная электростатическая сила, описываемая законом Кулона, может быть изображена в гиперплоскости одновременнсоти, но релятивистские отношения заряда и силы включают запаздывающие потенциалы .

Мировые линии в общей теории относительности

Использование мировых линий в общей теории относительности в основном такое же, как и в специальной теории относительности, с той разницей, что пространство-время можно искривить. Динамика метрики определяется уравнениями Эйнштейна и зависит от распределения массы и энергии в пространстве-времени. Метрика определяет светоподобные (нулевые), пространственноподобные и времениподобные кривые. Кроме того, в общей теории относительности мировые линии - это времениподобные кривые в пространстве-времени, располагающиеся в световом конусе. Световой конус не обязательно наклонен под углом 45 градусов к оси времени. Однако это артефакт выбранной системы координат и отражает координатную свободу (инвариантность диффеоморфизма ) общей теории относительности. Любая времениподобная кривая допускает сопутствующего наблюдателя, чья «временная ось» соответствует этой кривой, и, поскольку ни один наблюдатель не имеет преимущества, мы всегда можем найти локальную систему координат, в которой световые конусы наклонены под углом 45 градусов к оси времени. См. также, например, координаты Эддингтона-Финкельштейна .

Мировые линии свободно падающих частиц или объектов (например, планет вокруг Солнца или космонавта в космосе) называются геодезическими.

Мировые линии в квантовой теории поля

Квантовая теория поля, структура, в которой описывается вся современная физика элементарных частиц, обычно описывается как теория квантованных полей. Однако, хотя она и не получила широкого признания, со времен Фейнмана известно, что многие квантовые теории поля могут быть эквивалентно описаны в терминах мировых линий. Формулировка квантовой теории поля через мировые линии (см англоязычный вариант статьи) оказалась особенно полезной для различных вычислений в калибровочных теориях и для описания нелинейных эффектов электромагнитных полей.

См. также

• Конкретные типы мировых линий
  • Геодезические
  • Замкнутые времениподобные кривые
  • Причинная структура, кривые, которые представляют множество различных типов мировых линий
  • Изотропная линия
• Диаграмма Фейнмана
• География времени

Ссылки

• Minkowski, Hermann (1909), Raum und Zeit, Physikalische Zeitschrift Т. 10: 75–88 

• Различные переводы на английский язык в Википедии: Пространство и время

• Людвик Зильберштейн (1914) Теория относительности, стр. 130, Macmillan and Company .

Внешние ссылки

• Мировые линии статья на h2g2 .

• Подробная статья о мировых линиях и специальной теории относительности

Литература

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. § 2. Интервал. § 3. Собственное время. § 7. Четырехмерная скорость // Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7..