Метод бисопряжённых градиентов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод бисопряжённых градиентов (англ. Biconjugate gradient method, BiCG) — итерационный численный метод решения СЛАУ крыловского типа. Является обобщением метода сопряжённых градиентов.

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида: . В отличие от МСГ на матрицу не накладывается условие самосопряжённости, то есть возможно, что . Для действительной матрицы это означает, что матрица может быть несимметричной.

Алгоритм для действительных матриц[править | править вики-текст]

Подготовка перед итерационным процессом
  1. Выберем начальное приближение
-я итерация метода[1]
Критерий остановки итерационного процесса

Остановка может происходить по числу итераций, по невязке, по отличию приближений и так далее. Поскольку метод является неустойчивым, то при его использовании дополнительно следует ограничивать сверху число итераций.

Алгоритм для предобусловленной системы[править | править вики-текст]

Пусть дана предобусловленная система

Подготовка перед итерационным процессом
  1. Выберем начальное приближение
-я итерация метода
  1. [2]
После итерационного процесса
  1. , где  — приближенное решение системы,  — решение предобусловленной системы на последней итерации.
Критерий остановки итерационного процесса

Остановка может происходить по числу итераций, по невязке, по отличию приближений и так далее. Поскольку метод является неустойчивым, то при его использовании дополнительно следует ограничивать сверху число итераций.

Особенности и модификации метода[править | править вики-текст]

BiCG является неустойчивым[1] методом, поэтому решения реальных задач его используют редко. Чаще используют его модификацию[3] — стабилизированный метод бисопряжённых градиентов.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Henk A. van der Vorst. Iterative Krylov Methods for Large Linear System. — Cambridge University Press, 2003. — 221 с. — ISBN 9780521818285.
  2. T. Huttunen, M. Malinen, P. Monk Solving Maxwell’s Equations using Ultra Weak Variational Formulation (англ.). — 2006.