Метод итерации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Метод итерации или метод простой итерациичисленный метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения, являющегося более точным.

Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (в результате итерационного процесса). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня.

Описание метода[править | править код]

Пусть дана СЛАУ вида: , где

Предполагается, что . Выразим через первое уравнение,  — через второе и т. д.[1]:

Пусть

для и пусть

Тогда исходная система преобразуется к виду .

За нулевое приближение примем столбец свободных членов:

Тогда

 — первое приближение,
 — второе приближение и т.д.

Общая формула итерационного процесса имеет вид

За решение исходной системы принимается .

Условия сходимости процесса[править | править код]

Необходимое и достаточное условие сходимости: , где — спектральный радиус [2].

Достаточное условие сходимости: [2].

В частности при выборе нормы, подчинённой векторной условие сходимости приобретает вид (где ).

При выборе нормы условие приобретает вид (где ), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы .

Оценка погрешности[править | править код]

Пусть  — вектор точного решения. Тогда можно получить следующие оценки погрешности приближённого решения на -м шаге алгоритма[3]:

  • априорная:
  • апостериорная:

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]