Метод итерации

Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным).

Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов (итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x₀.

Описание метода

Пусть дана СЛАУ вида: $AX=B$, где:
$\mathrm {A} ={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {X} ={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}};\qquad \mathrm {B} ={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}$

Предполагая, что $a_{ii}$ не равно 0, $i={\overline {1,n}}$. Выразим $x_{1}$ через первое уравнение, $x_{2}$ — через второе и т. д. $\left\{{\begin{array}{c}x_{1}={\frac {b_{1}}{a_{11}}}-{\frac {a_{12}}{a_{11}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{1n}}{a_{11}}}x_{n}\\\vdots \\x_{n}={\frac {b_{n}}{a_{nn}}}-{\frac {a_{n1}}{a_{nn}}}x_{1}-{\frac {a_{n2}}{a_{nn}}}x_{2}-\cdots -{\frac {a_{n,n-1}}{a_{nn}}}x_{n-1}\end{array}}\right.$
Обозначим:

${\frac {b_{i}}{a_{ii}}}=\beta _{i};-{\frac {a_{ij}}{a_{ii}}}=\alpha _{ij},i\neq j;\alpha _{ii}=0;$ $i={\overline {1,n}}$, $j={\overline {1,n}}$ ,

$0=\alpha _{ij}$ при $i=j$,
$\alpha ={\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}};\qquad \beta ={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}$
В матричном виде получим: $X=\beta +\alpha x$

За нулевое приближение примем столбец свободных членов.

${\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}$ — нулевое приближение;

${\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(0)}\\\vdots \\x_{n}^{(0)}\end{bmatrix}}$ — первое приближение;

${\begin{bmatrix}x_{1}^{(2)}\\\vdots \\x_{n}^{(2)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\beta _{1}\\\vdots \\\beta _{n}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha _{n1}&\cdots &\alpha _{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}^{(1)}\\\vdots \\x_{n}^{(1)}\end{bmatrix}}$ — второе приближение и т. д.;

$X^{(k)}=\beta +\alpha X^{(k-1)}$, $k=1,2,\dots$

$X=\lim _{k\to \infty }X^{(k)}$ — решение системы.

Условия сходимости процесса

Метод итерации применяют в случае, если сходится последовательность приближений по указанному алгоритму . Условие сходимости: $\Vert \alpha \Vert <1$; в частности при выборе нормы, подчинённой векторной $\|x\|_{\infty }=\max \limits _{1\leq i\leq n}|x_{i}|$ приобретает вид $\max _{j=1}^{n}\vert \alpha _{ij}\vert <1$ (где $i=1,2,\dots ,n$) или, при выборе $\|x\|_{1}=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|$ приобретает вид $\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}\vert \alpha _{ij}\vert <1$ (где $j=1,2,\dots ,n$), что называют условием диагонального преобладания исходной матрицы $A$.

Оценка погрешности

$\varepsilon =\Vert x-x^{(k)}\Vert \leq {\frac {\Vert \alpha \Vert ^{k+1}\Vert \beta \Vert }{1-\Vert \alpha \Vert }}$,

$\varepsilon =\Vert x-x^{(k)}\Vert \leq {\frac {\Vert \alpha \Vert }{1-\Vert \alpha \Vert }}\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert$,

где $\varepsilon$ — точность, $x$ — вектор точных значений,

$\Vert \beta \Vert$ — одна из трёх норм вектора $\beta$, $\Vert \alpha \Vert$ — согласованная с выбранной для вектора норма матрицы $\alpha$.