Метод итерации

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод итерации — численный метод решения математических задач, приближённый метод решения системы линейных алгебраических уравнений. Суть такого метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить значения корней системы с заданной точностью в виде предела последовательности некоторых векторов(итерационный процесс). Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения корня x0.

Описание метода[править | править вики-текст]

Пусть дана СЛАУ вида: , где:

Предполагая, что не равно 0, . Выразим через первое уравнение,  — через второе и т. д.
Обозначим:

, ,

В матричном виде получим:

За нулевое приближение примем столбец свободных членов.

 — нулевое приближение;

 — первое приближение;

 — второе приближение и т. д.;

,

 — решение системы.

Условия сходимости процесса[править | править вики-текст]

Метод итерации применяют в случае, если сходится последовательность приближений по указанному алгоритму . Условия сходимости : (где ) или (где ).

Оценка погрешности[править | править вики-текст]

, где -точность,  — вектор точных значений.

 — одна из трёх норм матрицы ,  — одна из трёх норм матрицы .