Метод неопределённых коэффициентов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Метод неопределённых коэффициентов ― метод, используемый в математике для нахождения искомой функции в виде точной или приближённой линейной комбинации конечного или бесконечного набора базовых функций. Указанная линейная комбинация берётся с неизвестными коэффициентами, которые определяются тем или иным способом из условий рассматриваемой задачи. Обычно для них получается система алгебраических уравнений.

Применения[править | править вики-текст]

Ниже приведены задачи, которые решаются методом неопределённых коэффициентов. Система уравнений в них получается из приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях в равных многочленах.

Разложение дроби на простейшие[править | править вики-текст]

Классическим примером применения метода неопределённых коэффициентов является разложение правильной рациональной дроби в комплексной или вещественной области на элементарные дроби.

Пусть и многочлены с комплексными коэффициентами, причём степень многочлена меньше степени многочлена . Будем полагать, что степень многочлена равна , коэффициент при старшем члене многочлена равен 1, а , ― различные корни многочлена с кратностями , соответственно. Отсюда имеем

Функция представима, и притом единственным образом, в виде суммы элементарных дробей

где ― неизвестные пока комплексные числа (их число равно ). Для их отыскания обе части равенства приводят к общему знаменателю. После его отбрасывания и приведения в правой части подобных членов получается равенство, которое сводится к системе линейных уравнений относительно .

Примечание. Нахождение коэффициентов упрощается, если имеет только некратные корни , , т.е. все и

После умножения на последнего равенства и подстановки непосредственно получаем значение соответствующего коэффициента

.

Интегрирование[править | править вики-текст]

При вычислении неопределённого интеграла от рациональной функции метод неопределённых коэффициентов используется при разложении дроби на сумму простейших, как описано выше, а также в методе Остроградского, применяемом если корни знаменателя дроби имеют большую кратность. Он также используется при интегрировании иррациональностей вида

где многочлен степени n. Тогда

После дифференцирования этого равенства, решая систему уравнений, определяют неопределённые коэффициенты многочлена степени n-1, а также [1].

Обращение ряда[править | править вики-текст]

Если функция , не равная нулю при разложена в ряд Маклорена:

то существует ряд Маклорена противоположной функции:

Коэффициенты этого ряда можно найти, перемножив эти два равенства и применив метод неопределённых коэффициентов. Получится бесконечная треугольная система линейных уравнений, из которой последовательно найдутся искомые коэффициенты.

Аналогичным, но более громоздким, образом можно найти коэффициенты ряда обратной функции:

При этом используется соотношение , то есть весь ряд для подставляется вместо в ряд для .

Сумма степеней[править | править вики-текст]

В качестве частного примера можно привести задачу о нахождении формулы k-х степеней: . Будем искать ответ в виде многочлена -ой степени от . Коэффициенты же этого многочлена найдём с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример. Ищем в виде .

По определению , а также . Подставляя многочлен в приведённой форме и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, получаем систему для их определения:

откуда получаем ответ:

Нахождение частного решения неоднородного дифференциального уравнения[править | править вики-текст]

В некотором смысле данное применение является обобщением предыдущего — в том случае искалось решение разностного уравнения , здесь же ищется решение уравнения .

Обычно метод неопределённых коэффициентов применяют в случаях, когда правая часть представляет собой алгебраический или тригонометрический полином.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — М.: Высшая школа, 1970. — Т. 1. — С. 369-370. — 50 000 экз.

Ссылки[править | править вики-текст]