Молекулярно-кинетическая теория

Молекулярно-кинетическая теория (МКТ) — теория, возникшая в XIX веке и рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближенно верных положений:

• все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;
• частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
• частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена целым рядом опытных фактов. Основными доказательствами положений МКТ стали:

• Диффузия
• Броуновское движение
• Изменение агрегатных состояний вещества

На основе МКТ развит целый ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика. В этих разделах физики изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

История теории

Началом становления МКТ послужила теория М. В. Ломоносова. Ломоносов опытным путём опроверг теории о теплороде и флогистоне, подготовив тем самым, молекулярно-кинетическую теорию XIX века Рудольфа Клаузиуса, Людвига Больцмана и Джеймса Максвелла.

Основное уравнение МКТ

$p={\frac {1}{3}}m_{0}nv^{2}$, где $m_{0}$ — масса одной молекулы газа, n — концентрация молекул, $v^{2}$ — среднеквадратичная скорость молекул.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) газовой системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения).

Релятивистское выражение для этой формулы имеет следующий вид: $p={\frac {2\rho c^{2}(\gamma -1)}{3}}={\frac {2\rho c^{2}}{3}}\left({\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1\right)\approx {\frac {\rho v^{2}}{3}},$ где $\rho =m_{0}n$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света, $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$ — Лоренц-фактор.

Вывод основного уравнения МКТ

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной $l$ и одна частица массой $m$ в нём.

Обозначим скорость движения $v_{x}$, тогда перед столкновением со стенкой сосуда импульс частицы равен $mv_{x}$, а после — $-mv_{x}$, поэтому стенке передается импульс $p=2mv_{x}$. Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой, равно $t={\frac {2l}{v_{x}}}$.

Отсюда следует:

$F_{x}={\frac {p}{t}}={\frac {2mv_{x}^{2}}{2l}}$

Так как давление $p={\frac {F}{S}}$, следовательно сила $F=p*S$

Подставив, получим: $p_{x}S={\frac {mv_{x}^{2}}{l}}$

Преобразовав: $p_{x}={\frac {mv_{x}^{2}}{lS}}$

Так как рассматривается кубический сосуд, то $V=Sl$

Отсюда:

$p_{x}={\frac {mv_{x}^{2}}{V}}$.

Соответственно, $p_{y}={\frac {mv_{y}^{2}}{V}}$ и $p_{z}={\frac {mv_{z}^{2}}{V}}$.

Таким образом, для большого числа частиц верно следующее: $P_{x}=N{\frac {m{\bar {v_{x}^{2}}}}{V}}$, аналогично для осей y и z.

Поскольку $v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}$, то ${\bar {v_{x}^{2}}}={\bar {v_{y}^{2}}}={\bar {v_{z}^{2}}}={\frac {1}{3}}{\bar {v^{2}}}$. Это следует из того, что все направления движения молекул в хаотичной среде равновероятны.

Отсюда $P_{x}=P_{y}=P_{z}=P={\frac {Nm{\bar {v^{2}}}}{3V}}$

или $PV={\frac {N}{3}}m{\bar {v^{2}}}$.

Пусть $\,E_{k}$ — среднее значение кинетической энергии одной молекулы, тогда:

$PV={\frac {2}{3}}NE_{k}={\nu }RT$, откуда, используя то, что ${\nu }={\frac {N}{N_{A}}}$(количество вещества), а $R=N_{A}k$, имеем ${E_{k}}={\frac {3}{2}}kT$.

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы

Уравнение среднеквадратичной скорости молекулы легко выводится из основного уравнения МКТ для одного моля газа.

$E_{k}={\frac {1}{2}}m{\bar {v^{2}}}={\frac {3}{2}}kT$,

$N_{a}m=M_{r}$, где $M_{r}$ — молярная масса газа, $m$ — масса молекулы газа.

Отсюда окончательно

${\bar {v}}={\sqrt {\frac {3kTN_{A}}{M_{r}}}}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}$

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая механика
• Статистическая физика

Литература

• Кинетическая теория газов // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Гиршфельд Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961
• Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л., 1975
• Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М., 1996