Несмещённая оценка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Несмещённая оце́нка в математической статистике — это точечная оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть выборка из распределения, зависящего от параметра . Тогда оценка называется несмещённой, если

,

где

В противном случае оценка называется смещённой, и случайная величина называется её смеще́нием.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Выборочное среднее является несмещённой оценкой математического ожидания , так как если , , то .
  • Пусть независимые случайные величины имеют конечную дисперсию . Построим оценки
 — выборочная дисперсия,

и

 — исправленная выборочная дисперсия.

Тогда является смещённой, а несмещённой оценками параметра . Смещённость можно доказать следующим образом.

Пусть и  — среднее и его оценка соответственно, тогда:

Добавив и отняв , а затем сгрупировав слагаемые, получим:

Возведём в квадрат и получим:

Заметив, что , получим:

Учитывая, что

  • (свойство математического ожидания);
  • дисперсия;
  • , т.к. , учитывая, что и независимые и , т.е. ,

получим:

Литература и некоторые ссылки[править | править вики-текст]