Обсуждение:Основания математики

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Комментарий[править код]

  • В нынешнем состоянии статью следует назвать "история основания математики". Списки в преамбуле это плохо — детали должны быть в тексте статьи. Bsivko (обс.) 16:08, 22 ноября 2017 (UTC)
    • Краткий обзор некоторых современных исследований я нашёл только в Энциклопедии Британника (см. ссылку в статье), но темы там слишком специфические, не знаю, как это попроще изложить читателю. Все прочие попадавшиеся мне книги и статьи по теме излагают именно историю. LGB (обс.) 18:05, 22 ноября 2017 (UTC)
  • Навскидку: актуальные-открытые проблемы, перспективы, активные/исторические школы, ключевые моменты, связь с другими науками, влияние, применение, ... А вообще приятно видеть, что пишутся такие статьи и на таком уровне. Bsivko (обс.) 16:15, 22 ноября 2017 (UTC)
    • Если знаете доступные АИ, не откажите в любезности сообщить. Или сами дополните. LGB (обс.) 18:05, 22 ноября 2017 (UTC)

Рецензирование статьи Основания математики[править код]

Здесь находятся завершившиеся обсуждения. Просьба не вносить изменений.

Статья на тему, пограничную между математикой, логикой и философией. В профессиональные дебри я старался не лезть, но буду благодарен за подсказку дополнительных источников общего плана и тем, которые, возможно, освещены недостаточно. LGB (обс.) 12:02, 16 декабря 2017 (UTC)

Интереснейшая и важнейшая тема. Мне кажется, в статье стоит упомянуть HoTT. Источников, к сожалению, подсказать не могу, но что-то можно позаимствовать из статьи en:Univalent foundations. --Браунинг (обс.) 13:47, 20 декабря 2017 (UTC)
Спасибо, почитаю. Если сам пойму и смогу перевести на язык, понятный массовому читателю, то использую. LGB (обс.) 09:46, 22 декабря 2017 (UTC)

Замечания здесь и на СО помогли дополнить раздел о современном состоянии, всем спасибо. Теперь, мне кажется, статья может претендовать на статус ИС, если я ошибаюсь, меня поправят. LGB (обс.) 12:01, 12 января 2018 (UTC)

В мириаду?[править код]

Странно, что эта тема не входит даже в 10000 обязательных (я бы и в 1000 добавил).--SEA99 (обс.) 15:47, 18 марта 2018 (UTC)

написал, думаю, одну из 300 математических статей можно выкинуть ради этой.--SEA99 (обс.) 15:54, 18 марта 2018 (UTC)
Разделяю ваше недоумение. LGB (обс.) 15:56, 18 марта 2018 (UTC)
Там 4 кандидата на выкидывание. Поучаствуете?--SEA99 (обс.) 08:43, 1 апреля 2018 (UTC)
А это будет иметь какие-то последствия? Существуют ли вообще ясные правила корректировки Мириады? LGB (обс.) 11:40, 1 апреля 2018 (UTC)
Думаю, по консенсусу на СО просто можно изменить.--SEA99 (обс.) 12:54, 1 апреля 2018 (UTC)
Хм, четыре варианта от четырёх участников – это мало похоже на консенсус. LGB (обс.) 14:16, 1 апреля 2018 (UTC)

Тематическая рубрикация[править код]

Нашёл любопытный PDF-файл «Универсальная десятичная классификация (УДК)» с официальным списком тем, в том числе относящихся к Основаниям математики. Может, включить этот небольшой список (12 строк) для полноты картины отдельным разделом в конец статьи, назвать, скажем: «Тематическая рубрикация в УДК»? Какие будут мнения? LGB (обс.) 16:09, 18 марта 2018 (UTC)

Так как сам УДК не слишком хорошо известен (не знаю, насколько он глобален?), то надо объяснять что это такое, в итоге получится текст, практически не относящийся к теме статьи. Думается, лучше этот код УДК добавить в Викиданные и шаблон Внешние ссылки (если его там нет). Туда входит и свалка кодов и индексов, которая и не отвлекает и может оказаться полезной тем, кто в курсе.--SEA99 (обс.) 16:45, 18 марта 2018 (UTC)
А сам шаблон ВС надо вставлять практически везде, ИМХО.--SEA99 (обс.) 17:07, 18 марта 2018 (UTC)
Вставил шаблон ВС, но, кроме ссылок на Britannica Online и какую-то японскую парламентскую библиотеку, ничего полезного не обнаружил. LGB (обс.) 17:16, 18 марта 2018 (UTC)
Да, УДК нет, надо добавлять.--SEA99 (обс.) 17:17, 18 марта 2018 (UTC)
Подвязал свойство в Викиданных. Кстати, в статье Универсальная десятичная классификация есть более интересная ссылка.--SEA99 (обс.) 17:35, 18 марта 2018 (UTC)
Не смог я совладать с Викиданными и заполнить свойство в соответствии с примером. Как искать значения совсем неясно. Может быть здесь есть знатоки?--SEA99 (обс.) 17:52, 18 марта 2018 (UTC)Вроде настроил как надо.--SEA99 (обс.) 17:58, 18 марта 2018 (UTC)
У меня в отображении шаблона ВС ничего не изменилось. Кэш очистил. LGB (обс.) 18:36, 18 марта 2018 (UTC)
Не отображается там UDC/УДК, написал на СО шаблона, может знатоки подскажут...--SEA99 (обс.) 18:38, 18 марта 2018 (UTC)
  • По-моему, надо заполнить только одно свойство, которое собственно код. Я исправил в викиданных. — Алексей Копылов 21:11, 18 марта 2018 (UTC)
  • Здесь в примере 4 и в этом есть своя логика (для группировок, если иерархические группировки не поддержаны).--SEA99 (обс.) 00:42, 19 марта 2018 (UTC)
  • Другое дело, что в примере используются созданные значения, но я не нашёл как искать такие значения.--SEA99 (обс.) 00:43, 19 марта 2018 (UTC)
    • Это несколько отдельных примеров этого свойства. Чтобы посмотреть как они устроены, надо пойти на конкретные элементы: например, если пойти на политика, то там видно, что это свойство равно 32. — Алексей Копылов 01:28, 19 марта 2018 (UTC)

Про теорию категорий[править код]

Хотелось бы спросить авторов этой статьи, что это за "новое перспективное направление, связывающее основания математики с теорией категорий"? И где эта "аксиоматика теории множеств, преобразованная на языке теории категорий" описана?

«С 1960-х годов, начиная с работ Уильяма Ловера, появилось новое перспективное направление, связывающее основания математики (и, возможно, физики) с так называемой теорией категорий. Её можно нестрого представлять как теорию структурированных множеств, свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству, а включены изначально в определение объекта, так что изоморфные множества не различаются. Аксиоматика теории множеств может быть преобразована на языке теории категорий, и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование. Высказываются надежды на плодотворность такого подхода»

Eozhik (обс.) 12:03, 24 марта 2018 (UTC)

Как я понимаю, автор этого абзаца -- участник LGB: [1]. LGB, это очень серьезное заявление:

Аксиоматика теории множеств может быть преобразована на языке теории категорий, и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным

Его нужно доказывать. А для профессионального математика это звучит очень странно. Где доказательства? Eozhik (обс.) 04:07, 25 марта 2018 (UTC)
Обсуждаемый абзац представляет собой краткий конспект трёх указанных в конце абзаца источников. Аналог фразы об аксиоматике содержится в статье Родина (стр. 8):

Теория категорий может служить не только для формулировки и уточнения существующих теорий, но и для создания принципиально новой математики. Новый этап в развитии теории категорий связан с работами Ловера, который в начале 1960-х годов начал работать над программой построения категорных оснований математики[20] [21]. Проект категорных оснований содержит несколько принципиальных идей. Мы упомянем здесь только две из них, которые имеют отношение к использованию теории категорий в физике.

(i) Говоря о категориях, в которых объектами являются множества с дополнительной структурой, мы всякий раз негласно предполагали, что объекты и морфизмы этих категорий определены заранее независимо от данной категории. Однако на эту конструкцию можно посмотреть и с обратной стороны. Рассмотрим для определенности случай категории множеств. Вместо того, чтобы предполагать множества и функции заданными заранее с помощью какой-либо общепринятой аксиоматической теории множеств (вроде популяной системы Цермело-Френкеля ZF ), мы начнем с того, что рассмотрим категорию множеств как абстрактную категорию самого общего вида, а затем постулируем, что данная категория обладает неким конечный набором свойств, который отличает категорию множеств от любой другой категории. В результате мы получаем альтернативную теорию множеств, в которой в качестве примитивного используется не отношение принадлежности элемента множества данному множеству как в ZF и пообных теориях, а понятие функции. Впервые такая категорная теория множеств была предложена Ловером в работе [19], которая также содержит набросок доказательства того факта, что предложенная автором теория эквивалентна ZF.

О предполагаемых преимуществах категорного подхода пишет Яшин (стр. 69): «Преимуществом категориального подхода в обосновании математики были его общность, конструктивный подход к математической деятельности в анализе морфизмов, а также возможность иметь дело не столько с самими математическими объектами, сколько заниматься изучением их структурных характеристик».
Если вы считаете формулировку в статье неудачной, предложите свою, обсудим. LGB (обс.) 11:47, 25 марта 2018 (UTC)
И где здесь "аксиоматика теории множеств, преобразованная на языке теории категорий"? Eozhik (обс.) 13:59, 25 марта 2018 (UTC)
Впервые такая категорная теория множеств была предложена Ловером в работе [19], которая также содержит набросок доказательства того факта, что предложенная автором теория эквивалентна ZF. Как я понимаю, эквивалентной аксиоматике может быть только другая аксиоматика. А вы как поняли эту фразу? LGB (обс.) 14:07, 25 марта 2018 (UTC)
Я ожидал увидеть прямую ссылку на текст с системой аксиом. Ловер ссылается на Эйленберга и Маклейна, которые в свою очередь пишут очень небрежно. Есть какой-нибудь текст, где все эти взгляды излагаются аккуратно, без недомолвок, пробелов и отсылок на куски конструкции в других источниках? Eozhik (обс.) 14:45, 25 марта 2018 (UTC)
  • Я так понял вы смотрели Lawvere, "Elementary theory of the category of sets", 1964. Я добавил ссылку на Lawvere, "The Category of Categories as a Foundation for Mathematics", 1966. Там есть аксиоматика без пробелов. Тут эта статья доступна: [2]Алексей Копылов 20:46, 25 марта 2018 (UTC)
  • Да, теперь вижу. Странная какая картина. Интересно было бы поглядеть, что вторичные источники об этом пишут. В какой мере оправданы претензии автора, что это может заменить теорию множеств? В частности, кто-нибудь исследовал это на непротиворечивость? И где вообще вторичные источники? Eozhik (обс.) 04:57, 27 марта 2018 (UTC)
  • Оппоненты! Вы здесь? Без доказательств теперь это заявление повисает в воздухе:

    и результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным

    То, что вы там приводите в списке этих преимуществ не звучит серьезно, потому что общность и в теории множеств есть, а конструктивность и акценты - дело вкуса. Что могло бы быть действительно важным - это если бы обнаружилось, что подход Ловера приводит к непротиворечивой теории. Но именно этот пункт вызывает наибольшие сомнения, потому что теоремы Геделя, устанавливающие связь любой теории 1 порядка (в том числе и к теориям Ловера это должно быть применимо) с теорией множеств и арифметикой, никто не отменял. Eozhik (обс.) 07:11, 29 марта 2018 (UTC)
    • Не наша задача оценивать серьезность преимуществ. То что вы пишите о теореме Геделя, это конечно так, но я не вижу, как это противоречит тому, что написано в статье. — Алексей Копылов 01:55, 30 марта 2018 (UTC)
  • Не понял, что чему противоречит? Eozhik (обс.) 03:42, 30 марта 2018 (UTC)
    • Прошу прощения, пропустил частицу "не", в прошлом ответе. — Алексей Копылов 07:26, 30 марта 2018 (UTC)
  • результат имеет определённые преимущества по сравнению с теоретико-множественным: общность, конструктивный характер, акцент на алгебраическое (а не теоретико-множественное) обоснование.

    -- Кто автор этой фразы и где у нее подтверждения? Eozhik (обс.) 12:45, 30 марта 2018 (UTC)
  • Автор этой фразы в Википедии — я, а в реале она пересказывает слова Б. Л. Яшина, уже процитированные выше. Для справки: Борис Леонидович Яшин — профессор, математик по образованию, доктор философских наук. Если вы считаете, что его мнение ошибочно, то согласно правилам Википедии вы должны привести точную ссылку на доступное АИ с иным мнением, и мы немедленно внесём дополнение в статью. Аргументация без ссылок на АИ, при всём уважении, не учитывается. LGB (обс.) 13:14, 30 марта 2018 (UTC)

@LGB: 1. Б.Л.Яшин, как легко проверить, не математик: [3]. В связи с этим вопрос: почему его текст должен считаться авторитетным источником в статье про математику?

2. Вы, как автор этой фразы, наверное, можете объяснить, что Вы (с Яшиным) имели в виду заявлением про общность? В каком смысле категории Ловера более общи, чем теория множеств? Нынешняя теория множеств лежит в фундаменте всей математики. Что, есть какие-то разделы математики, которые теорией множеств не описываются, но зато описываются категориями Ловера? Или о чем речь?

3. То же самое с конструктивным характером. Чем категории Ловера конструктивнее теории множеств?

4. Где у Яшина говорится про алгебраическое обоснование, и что здесь имеется в виду?

Преимуществом категориального подхода в обосновании математики были его общность, конструктивный подход к математической деятельности в анализе морфизмов, а также возможность иметь дело не столько с самими математическими объектами, сколько заниматься изучением их структурных характеристик

Eozhik (обс.) 13:50, 30 марта 2018 (UTC)

Подключим тяжёлую артиллерию. @Alexei Kopylov:, @Bezik:, что вы думаете про обсуждаемую фразу? LGB (обс.) 15:08, 25 марта 2018 (UTC)

С этими собеседниками я думаю, что знаю, каким будет результат: [4].
@LGB:, давайте я Вам объясню, в чем проблема. Теории множеств, такие, как ZFC, NBG, MK, описываются как теории 1 порядка. Это, в частности, значит, что когда люди их описывают, они не ссылаются на другие теории Например, не говорят, что множество - это объект какой-то категории. С теорией категорий все (обычно) иначе: ее когда описывают, как правило ссылаются на теорию множеств. Например, в английской Википедии: en:Category (mathematics). Если Вы приглядитесь, то увидите, что там в определении используется понятие класса (а это объект теории множеств NBG или MK). Я не видел, чтобы теория категорий где-нибудь описывалась по-другому, как теория 1 порядка (без ссылок на какую-нибудь теорию множеств, явных или неявных). Поэтому когда кто-то говорит, что теория категорий может существовать без теории множеств или даже может заменить ее - это звучит очень странно. Ловер пишет в этой своей статье, что он понимает определение категории Эйленберга и Маклейна как описание теории 1 порядка, но это звучит тоже очень странно, потому что Эйленберг и Маклейн нигде про первый порядок не говорят, а используют приемы "наивной теории множеств" (что, конечно, не красит их статью). Поэтому когда читаешь такое, возникает естественный вопрос: где, собственно говоря, все эти взгляды аккуратно прописаны? Eozhik (обс.) 15:39, 25 марта 2018 (UTC)
  • Я переписал спорную фразу следующим образом: "Вместо аксиоматики теории множеств в качестве основания математики может быть использован язык теории категорий". Так думаю точнее, так как меняется не только аксиоматика, но и язык. — Алексей Копылов 20:38, 25 марта 2018 (UTC)
А это доказывать, по-вашему, не нужно? Eozhik (обс.) 20:46, 25 марта 2018 (UTC)

Нашёл сравнительно недавнюю книгу (и её пересказ), в значительной степени посвящённую обсуждаемому вопросу. Судя по ней, вопрос действительно неоднозначный и не так-то легко формализуемый. --Браунинг (обс.) 09:43, 29 марта 2018 (UTC)

  • Мне кажется, это хороший источник. Не могли бы вы по нему написать пару предложений (или больше)?.. — Алексей Копылов 01:53, 30 марта 2018 (UTC)
  • При ближайшем рассмотрении оказалось, что возможность сформулировать теорию категорий, не опираясь на теорию множеств — утверждение, не подвергаемое сомнению, а споры идут о том, можно ли и нужно ли всё-таки использовать теорию категорий в качестве оснований. Дописал, опираясь на другой текст того же автора. Полагаю, что сейчас это место в статье удовлетворительно, хоть и не отвечает на все вопросы читателя. А вот в раздел "Назначение" надо будет дописать кое-что. --Браунинг (обс.) 11:58, 2 апреля 2018 (UTC)
  • Под "изоморфными множествами" видимо имеются в виду "изоморфные объекты". Вы уж и это поправьте, а то режет глаз, среди прочего. Eozhik (обс.) 07:52, 6 апреля 2018 (UTC)
  • Вообще эту фразу надо или убрать, или переформулировать так чтобы звучало яснее, уж очень это странно:

    , так что изоморфные множества не различаются

    Eozhik (обс.) 07:59, 6 апреля 2018 (UTC)
    • Переформулировал. Так лучше? — Алексей Копылов 01:03, 7 апреля 2018 (UTC)
    • По-моему, нет. Во-первых, Вы попутно заменили "структурированные множества" на "структурированные объекты", и если относительно первого еще можно догадываться, что под этим подразумевается, то второму смысл придать, я думаю, будет невозможно. А, во-вторых, получающаяся фраза

      , так что изоморфные объекты в этой теории не различаются.

      все равно звучит странно. В теории категорий изоморфные объекты могут совпадать, но как правило (в теоремах) бывают различны. Eozhik (обс.) 05:10, 7 апреля 2018 (UTC)
  • Нет, наверное, это тоже плохо, потому что там же должен быть предикат равенства, и если объекты изоморфны, но не равны, все равно получается, что они "отличаются по свойствам". При этом, фраза

    свойства которых не задаются дополнительно к базовому множеству

    -- тоже звучит коряво. Eozhik (обс.) 06:36, 7 апреля 2018 (UTC)

Про "Дальнейшее развитие"[править код]

Я выделю это в отдельную тему, учитывая что к теории категорий это отношения не имеет. Eozhik (обс.) 21:24, 30 марта 2018 (UTC)

Вообще в этом разделе, "Дальнейшее развитие", куда ни глянь - все вызывает или недоумение, или протест. Какое, например, отношение имеет нестандартный анализ к основаниям математики? Как и обычный анализ, он строится на системе аксиом теории множеств (ZFC, NBG или MK, по выбору), ничего в ней не меняя, только добавляя новые определения (точнее, это дефинициальное расширение обычной теории вещественных чисел). Аксиома выбора у вас "необщепринятая". При том, что без нее даже элементарные утверждения обычной университетской математики, типа теоремы Больцано-Вейерштрасса, доказать невозможно. Кановей объявляется автором глупостей про абсолютные истины:

Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

Тому, кто все это писал, хорошо бы о совести задуматься. Непонятно, как математики могут это читать спокойно. Или я первый?.. Eozhik (обс.) 16:04, 30 марта 2018 (UTC)
Грубое нарушение правил ВП:ЭП и ВП:НО. Я прекращаю общение с вами вплоть до принесения публичных извинений. В случае попытки продолжения высокомерного хамства буду требовать применения жёстких административных санкций. LGB (обс.) 16:45, 30 марта 2018 (UTC)
А по существу есть что-нибудь? Eozhik (обс.) 17:14, 30 марта 2018 (UTC)
Джентльмены, тут проблема-то есть. Если относиться к работе добросовестно, то этот раздел нужно полностью переписывать. В частности, этот пассаж про абсолютные истины в ссылках, которыми он сопровождается, отсутствует. И было бы странно, если бы было по-другому, потому что звучит он абсурдно. Как раз утверждения современной математики можно считать независящими ни от каких условий, потому что все, какие нужно условия (язык, логические правила вывода и посылки, из которых выводится данное утверждение) нынешние математики аккуратно прописывают (в разделе своей науки, называемой "Основания математики"). И относятся к этому соответственно. Например, в статье Ю.И.Янова, упоминаемой в ссылках, на этот счет пишется так:

естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

Ваша проблема в том, что вы слишком увлечены поверхностными эффектами, в ущерб существу дела. Eozhik (обс.) 21:24, 30 марта 2018 (UTC)
  • > этот пассаж про абсолютные истины в ссылках, которыми он сопровождается, отсутствует
    А что сказано в тех ссылках?
    Я не думаю, что фраза из статьи Янова противоречит тому, что сказано у нас. Просто разный смысл вкладывается в слово "абсолютно" и из контекста это понятно. — Алексей Копылов 05:29, 31 марта 2018 (UTC)
  • Вы почитайте и увидите, что там сказано. А что касается того, что там не сказано, и что именно и представляет интерес в этом обсуждении, то этого там нет:

    Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

    Это чистая отсебятина. И тому, что пишет Янов, она противоречит:

    математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

    Вы потратьте время, найдите ресурсы, если Вам это сложно. Eozhik (обс.) 07:20, 31 марта 2018 (UTC)
    • Несложно: "Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов" (Панов) — Алексей Копылов 02:17, 7 апреля 2018 (UTC)
u:Alexei Kopylov кто такой Панов Владилен Федорович, автор книги "Математика древняя и юная", на которую Вы ссылаетесь? Математик В.Ф.Панов, специалист по математической физике, работающий в Пермском государственном университете, зовется Вячеслав Федорович. Других математиков В.Ф.Пановых на сайте Академии наук не упоминается. Почему ссылка на нематематика должна считаться авторитетным источником в статье по математике в Википедии? Eozhik (обс.) 11:58, 6 сентября 2018 (UTC)
Профессора МГТУ им. Баумана. Панов работает на кафедре прикладной математики МГТУ, в том числе читает спецкурс по истории математики. Можете смело считать его математиком. 85.140.170.209 12:57, 6 сентября 2018 (UTC)
Мне недостаточно Вашего разрешения. Чтобы объявить кого-то математиком, необходимым условием обычно считается наличие у этого человека научных работ по математике. А процитированное u:Alexei Kopylov высказывание с этим требованием плохо согласуется. Eozhik (обс.) 19:25, 6 сентября 2018 (UTC)
  • Зато редактор книги упоминается. Книга издана ВУЗом, который входит в пятерку наиболее известных вузов России. Книга рецензируемая, и рецензенты в книге указаны. На книгу ссылаются, автор книги профессор математики, и у него есть другие книги и учебники. Такой источник по умолчанию является АИ, если не преведено другого АИ, который бы ставил под сомнение авторитетность этой книги. — Алексей Копылов 23:53, 6 сентября 2018 (UTC)
  • Этот АИ также упоминается в статье: написанное у Янова

    естественнонаучные истины имеют относительный характер, поскольку зависят от накопленных экспериментальных данных и в особенности от их интерпретации, в то время как математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

    -- противоречит написанному у Панова

    Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов

    Второе абсурдно как если бы врач заявил, что

    Медицина была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на лечение больных

    Eozhik (обс.) 03:38, 7 сентября 2018 (UTC)
u:Eozhik, все авторы Википедии -- добровольцы, живые люди, которые получают от своей работы здесь удовольствие (и перестанут ей заниматься, если перестанут получать удовольствие), а не нейросети, которые преобразуют ценные замечания в тексты статей. Если вы действительно хотите, чтобы ваша квалифицированная (здесь нет иронии) критика не пропала втуне, извинитесь, пожалуйста, перед LGB, зачеркните с помощью <s></s> свою реплику и перепишите её так, чтобы у её читателя возникло желание разобраться в ней содержательно, а не закрыть эту страницу и не заходить на неё никогда (а сейчас она, к сожалению, производит именно такой эффект). Это нисколько не уронит вашего авторитета, а, наоборот, продемонстрирует ценное качество -- умение работать в команде. Вежливость и доброжелательность здесь -- насущная необходимость, как бы не было тяжело воздерживаться от выражения эмоций (здесь опять же, нет иронии -- сдержать возмущение ошибкой и правда неприятно, я понимаю). --Браунинг (обс.) 17:23, 1 апреля 2018 (UTC)
  • u:Colt browning, это гораздо более длинный разговор, чем Вы ожидаете. По правде говоря, меня удивляют эти церемонии. У меня тоже есть опыт с Википедией, и, по моим наблюдениям, люди здесь не так щепетильны, как Вы это описываете. Например, вот такой тезис 4 года назад здесь не встретил ни у кого возмущения:

    «Ваше мнение по вопросу о Гегеле для Википедии незначимо, поскольку Вы не являетесь авторитетным источником»

    Я, помнится, тогда пожаловался, но извиняться передо мной никто не стал. Или вот такая картина: тогда же, 4 года назад здесь были удалены две мои статьи, причем первая - не дожидаясь итога посредника (что вызвало у него протесты, но тоже без толку). Или относительно недавняя история с участником Алексеем Копыловым: здесь и здесь. После эпизода с Гегелем можно было бы ожидать, что хотя бы в математических вопросах ко мне прислушаются, но нет. Вы не преувеличиваете важность, того, о чем говорите? Eozhik (обс.) 20:13, 1 апреля 2018 (UTC)
  • Да, часто советы, данные с лучшими побуждениями, оказываются встречены не так, как хотелось бы, а собеседники ведут себя не так, как хотелось бы. Так давайте же сделаем шаг к исправлению этого положения -- а как именно, я объяснил. Я уверен, после этого вам пойдут навстречу -- и это будет приятно вам же. Что же касается важности, то вы же сами видите, как реагируют на ваши замечания -- обидой и (с моей стороны) длинными сторонними разговорами. Это потому, что неудачная форма даже самых полезных замечаний реально очень мешает воспринимать их смысл. --Браунинг (обс.) 20:26, 1 апреля 2018 (UTC)
  • Нет-нет, Браунинг, в истории с Парадоксом Рассела никто мне не пенял, что я говорю что-то обидное. Но результат был тем же: термин "конгломераты", на который я жаловался, удален не был. Я вижу здесь повторяемость, и дело не в том, что критика была как-то не так высказана, а совсем в другом. Eozhik (обс.) 20:37, 1 апреля 2018 (UTC)
  • Тем не менее просто попробуйте последовать моему совету (только полноценно, а не как в анекдоте: "Марьиванна не дура? Марьиванна не дура?! Ну, извините!"). Впрочем, если и сейчас не захотите -- больше беспокоить по этому поводу не буду. --Браунинг (обс.) 20:47, 1 апреля 2018 (UTC)
  • Браунинг, такие вещи во избежание путаницы делаются в порядке очередности. Eozhik (обс.) 21:00, 1 апреля 2018 (UTC)

(Остальным) Суть замечаний, высказанных в этом разделе:

  • Нестандартный анализ, как и обычный анализ, строится на системе аксиом теории множеств (ZFC, NBG или MK, по выбору), ничего в ней не меняя, только добавляя новые определения (точнее, это дефинициальное расширение обычной теории вещественных чисел). Поэтому, возможно, он не имеет отношения к основаниям математики.
  • Аксиома выбора, возможно, на самом деле общепринятая.
  • Утверждение про абсолютные истины, возможно, противоречит написанному в источниках.

Сам я во всём этом пока не разбирался. --Браунинг (обс.) 21:06, 1 апреля 2018 (UTC)

  • Думаю вот что:
    • В статье и не утверждается, что нестандартный анализ — возможные основания математики. Его упоминание не является необходимым, но вполне объяснимо и допустимо.
    • Назвать аксиому выбора необщепринятой — кажется, действительно не очень корректно: в тех областях математики, где от неё вообще что-то зависит, её, видимо, действительно обычно принимают, а если нет — то в первую очередь как раз для того, чтобы посмотреть, что будет. Другое дело, что упоминание аксиомы выбора в контексте нестандартного анализа вообще кажется не очень нужным, так что можно просто удалить фразу «Нестандартный анализ опирается...».
    • Действительно, абсолютные истины — понятие относительное. Так давайте разжуём в статье, что имеется в виду, и тогда противоречие с источниками (присутствующее или отсутствующее, в зависимости от трактовки) исчезнет. Что-то вроде: «...математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от способа формального обоснования математической теории».
  • @LGB, Alexei Kopylov: что думаете? --Браунинг (обс.) 13:46, 2 апреля 2018 (UTC)
      • Про нестандартный анализ: упоминанием аксиомы выбора я хотел отметить, что он отличается от стандартного не только неархимедовостью, но и неконструктивностью (упорядоченность, скажем, бесконечно малых диктуется директивно, выбором ультрафильтра, а не задаётся ясным алгоритмом). Но я не довёл эту мысль до конца, поэтому эту фразу можно и вычеркнуть. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
      • Про аксиому выбора: странно считать общепринятой аксиому, у которой имеется с десяток вариаций, как в сторону ослабления, так и в сторону усиления, да плюс альтернативная ей аксиома детерминированности, используемая, скажем, в дескриптивной теории множеств. Если она общепризнана, то зачем принято особо отмечать случаи её использования? В наши дни активное отторжение AC как будто не имеет места, скорее пассивный скептицизм — не мешает, ну и пусть себе лежит. Не беру на себя смелость оценивать, сколько процентов математиков принимает AC безоговорочно, но явно не 100%, тем более что для конечных множеств она не нужна, а для счётных слишком сильна. Ну вот, что первое из источников попалось: Вербицкий. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
      • Про истинность — загляните в источник. Когда у Янова говорится, что «математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий», то он имеет в виду вовсе не то, что теорема «из A следует B» утверждает абсолютную истинность B — абсолютно истинной является импликация в целом. Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского? Немного ранее Янов говорит об этом прямо:

Благодаря созданию формализованной математической логики и, соответственно, математических понятий доказательства и непротиворечивости, метаматематическое понятие истинности окончательно приобрело однозначный внутриматематический характер: теорема истинна, если она формально-логически следует из аксиом непротиворечивой теории. Такое понятие истинности абсолютно в том смысле, что оно не зависит от каких-либо неоднозначных внешних условий.

      • Таким образом, фраза в статье «математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин» вполне адекватно пересказывает мысль источника. Аналогичные фразы встречаются у Клайна и Панова. LGB (обс.) 17:19, 2 апреля 2018 (UTC)
    • Мое мнение:
  1. Нестандартный анализ. Основания математики включает в себя не только аксиоматику, но и определения основных понятий. Поэтому если стандартный анализ и нестандартный анализ - определяют понятие числа по-разному - то это разные основания математики, даже если оба эти подхода опираются на одну и ту же аксиоматику теории множеств.
  2. Аксиома выбора. LGB подробно написал почему AC нельзя считать общепринятой. Достаточно существования аксиомы детерминированности. И если нестандартный анализ опирается на AC, то не вижу причин удалять эту фразу. Она вполне органически связывает текст со следующим параграфом.
  3. Абсолютные истины. Я согласен, что лучше разжевать. Дополнение Браунинга мне нравится, только вместо слова "обоснования" видимо лучше сказать "основания".
Алексей Копылов 00:38, 3 апреля 2018 (UTC)

И мое мнение:

  1. Я нашел упоминание нестандартного анализа в книге по основаниям математики: Kenneth Kunen, The Foundations of Mathematics, 2009. Теперь согласен, что можно это упомянуть (с этой ссылкой). Для справки, нестандартный анализ -- не единственная математическая теория, в которой числа определяются иначе, чем в теории действительных чисел, есть, например, еще теория p-адических чисел. Ее в таких книжках я не видел. (Удалено нарушение ВП:ЭП.) Однако, возможно, это место лучше исправить:

    Нестандартный анализ опирается на необщепринятую аксиому выбора, но и в стандартном анализе эта аксиома используется — например, в теории меры Лебега без неё невозможно доказать существование неизмеримых по Лебегу множеств.

    Нестандартный анализ и аксиома выбора - независимые вещи, их нужно отделять.
  2. Насчет аксиомы детерминированности. Между существованием и распространенностью имеется разница:

    Достаточно существования аксиомы детерминированности.

    Недостаточно существовать, чтобы альтернативу сочли необщепринятой. Кто-нибудь из вас знает учебник по матанализу, в котором вместо аксиомы выбора использовалась бы аксиома детерминированности? В отличие от нее аксиома выбора используется везде: например, П.С.Александров во "Введение в теорию множеств и общую топологию" (1977 год издания, с. 74-75) пишет, что даже равносильность определений предела по Коши и по Гейне без нее не докажешь:

    При этом оказалось, что мы не умеем обойтись без применения аксиомы Цермело при доказательстве некоторых элементарных теорем, относящихся даже не к теории множеств в собственном смысле слова, а просто к математическому анализу.

    Везде, где используется прием бесконечнократного выбора (а математики его используют перманентно), явно или неявно (второе чаще, потому что все время об этом говорить - язык отвалится; но в этом отношении аксиома выбора не отличается от других аксиом, на которые тоже никто на таких этапах не ссылается) используется аксиома выбора. Поэтому все математики, без исключения, используют аксиому выбора, когда, например, объясняют у доски студентам матанализ. Но я берусь утверждать, что очень мало кто из них знает о существовании аксиомы детерминированности. И единицы смогут ее сформулировать (из-за ее весьма экзотической формулировки). Писать, что аксиома выбора необщепринята -- вводить читателя в заблуждение.
  3. LGB, вот это софистика:

    Про истинность — загляните в источник. Когда у Янова говорится, что «математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий», то он имеет в виду вовсе не то, что теорема «из A следует B» утверждает абсолютную истинность B — абсолютно истинной является импликация в целом. Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского?... Таким образом, фраза в статье «математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин» вполне адекватно пересказывает мысль источника.

    (Удалено нарушение ВП:ЭП.) Янов пишет:

    математические понятия и факты являются абсолютными, не зависящими от каких-либо внешних условий

    А Вы это утверждение превращаете в противоположное:

    Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин.

    Не думаю, что кто-нибудь из присутствующих сможет воспроизвести ход Ваших рассуждений. Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)
Мне очевидно, что эта идея про "абсолютные истины" растет отсюда:

Иначе встанет вопрос — какая аксиома геометрии абсолютно истинна — Евклида или Лобачевского?

(Удалено нарушение ВП:ЭП.) Такая постановка вопроса скрывает разницу между выбором подходящей теории и утверждениями которые какая-то теория делает. (Удалено нарушение ВП:ЭП.) Согласно этой формулировке, сама теория, прямо в аксиомах, должна быть "абсолютной истиной". Но такого не бывает. Нигде в математике не говорится, что какая-то теория (или ее аксиомы) во всех ситуациях лучше какой-то другой (с ее аксиомами), и поэтому именно она и есть абсолютная истина. Например, никто не говорит, что геометрия Евклида лучше геометрии Лобачевского (или наоборот). Все утверждения математики имеют вид следствий из каких-то посылок:

В этом языке из вот таких посылок (аксиом) при таких правилах вывода получаются вот такие следствия.

И когда это сформулировано и доказано, оно становится абсолютной истиной, если уж Вам непременно хочется этого термина. В том смысле, что уже никакие новые наблюдения изменить этот факт не могут. Янов по этому поводу удачно цитирует Каца и Улама:

«В одном отношении математика стоит особняком среди других наук: никакой её результат не может быть зачеркнут дальнейшим развитием науки. Однажды доказанная теорема уже никогда не станет неверной, хотя впоследствии может выясниться, что она является лишь тривиальным частным случаем какой-то более общей истины. Математические знания не подлежат пересмотру, и общий их запас может лишь возрастать».

(Удалено нарушение ВП:ЭП.) Именно это нужно сообщить читателю(Удалено нарушение ВП:ЭП.). Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)
Отдельно об М.Клайне, на которого тут охотно ссылаются. Вот что о нем пишет Янов:

Решительная апология прагматического подхода к математике с детальным историческим обзором содержится в книге [Кла], но современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно).

Вы поаккуратнее с ним. Eozhik (обс.) 05:50, 3 апреля 2018 (UTC)
Одна реплика перемещена в Обсуждение участника:Eozhik.

--Браунинг (обс.) 07:35, 3 апреля 2018 (UTC)

  1. Аксиома выбора и её упоминание в абзаце про нестандартный анализ: Алексей, эта фраза, может, и связывает абзац про нестандартный анализ со следующим, но сам абзац она разрывает пополам, отрывая отсутствие бесконечно малых от аксиомы Архимеда. Так что раз уж и LGB согласен, я предпочёл бы её убрать.
  2. Абсолютные истины: LGB, даже в приводимых вами цитатах написано, что истины абсолютные, хоть и не в том смысле, что и раньше. А цитаты Eozhik'а ещё красноречивее показывают, что в нынешнем виде этот пассаж недостаточно ясно передаёт источники (хотя и выглядит эффектно). Так что мой вариант (с учётом правки Алексея): «...математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории» -- это minimum minimorum того, что нужно добавить/исправить в этом месте.
--Браунинг (обс.) 21:26, 5 апреля 2018 (UTC)
Не возражаю в обоих случаях. LGB (обс.) 12:14, 6 апреля 2018 (UTC)

Там еще много странного. Например, это:

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности.

Во-первых, про "бесконечное семейство математик" -- это звучит громко, и я такое слышу впервые. Откуда это? Во--вторых, что аксиома выбора несовместима с аксиомой детерминированности -- это требует ссылки (если это действительно так). Eozhik (обс.) 16:25, 6 апреля 2018 (UTC)

  • Про несовместимость AC и AD есть, например, у Кановея (ссылка 77). Слово "бесконечное" можно убрать - у Панова сказано, что число возможных вариантов оказывается "ошеломляюще большим". Хотя конечно бесконечное число построить не составляет труда (например, добавляя каждый раз к теории в качестве аксиомы утверждение о ее непротиворечивости). — Алексей Копылов 01:25, 7 апреля 2018 (UTC)
  • Где именно Кановей и Панов об этом говорят? Eozhik (обс.) 05:14, 7 апреля 2018 (UTC)
    • Об этом говорит Кановей, страницы указаны в сноске. В частности на стр. 3 — Алексей Копылов 05:50, 7 апреля 2018 (UTC)
  • А где про "семейство математик" кто-нибудь из них говорит? Eozhik (обс.) 06:39, 7 апреля 2018 (UTC)

О Гильберте[править код]

Несколько вопросов по поводу этого раздела:

1.

В отличие от Рассела, Гильберт брал первичные понятия в математике, а не в логике.

Где у М.Клайна, на которого дается ссылка, взята эта фраза? И как это вообще понимать? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Я думаю, что этой фразе вообще никакого смысла приписать невозможно. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

2.

Гильберт строго определил логические («метаматематические») правила проведения доказательства, которые позволяли преобразовать формулы аксиом и уже доказанных теорем так, что в итоге чисто формально получалась формулировка новой теоремы.

-- Что здесь имеется в виду? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Здесь наверное может иметься в виду, что Гильберт с учениками определили систему формальной записи математических утверждений и формальные правила вывода на этом языке новых утверждений, и на этот язык можно перевести все известные математические результаты. Так и надо написать. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

3.

Чтобы сделать свою идеологию общеприемлемой, Гильберт исключил из числа допустимых логических действий многие из самых спорных моментов — доказательство от противного, актуально бесконечные множества, непредикативные определения, трансфинитную индукцию.

-- Это тоже странное заявление. Откуда оно взялось и что означает? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Здесь догадаться что имел в виду автор, я думаю, невозможно. Если это понимать так как оно написано, то это утверждение ложно. Потому что в созданной Гильбертом и его школой системе (исчисление предикатов, нагляднее всего изложенное в интерпретации Генцена) и доказательства от противного, и бесконечные множества, и трансфинитная индукция, все это остается. И формализуется оно в нынешних аксиоматических теориях множеств. Как раз сохранив все это, Гильберт, считается, что и спас математику. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)
  • В приведенном источнике говориться: "В метаматематике Гильберт предложил использовать особую логику, которая не вызывала бы никаких возражений. Истинность ее законов должна быть настолько очевидной, что всякий мог бы принять их без тени сомнения. По существу эти идеи Гильберта были весьма близки принципам интуиционизма. Все спорные моменты – доказательство существования от противного, трансфинитная индукция, актуально бесконечные множества, непредикативные определения – старательно изгонялись." То что в исчислении предикатов может быть доказательство от противного, никак этому не противоречит. Поэтому возвращаю это в текст. — Алексей Копылов 00:16, 10 октября 2018 (UTC)
  • Алексей Копылов это заявление М.Клайна совсем не согласуется с тем, что в созданной Гильбертом логике предикатов (см. "Математическая энциклопедия", том 4, стр.577-580) закон исключенного третьего благополучно присутствует (в виде аксиомы 11 на стр.578). А в строимых на этом исчислении аксиоматических теориях множеств есть и трансфинитная индукция, и бесконечные множества, и все, что Вы тут так последовательно клеймите. Вы если восстановили этот кусок, наверное, можете объяснить этот парадокс? И заодно прокомментировать отзыв логика Ю.И.Янова о книге Клайна:

    современное состояние оснований математики в этой книге отражено слишком тенденциозно (и к тому же некомпетентно)

    Eozhik (обс.) 05:41, 11 октября 2018 (UTC)
  • А вот, между прочим, цитата из "Математической энциклопедии" (содержащая цитату из самого Гильберта, и прямо противоречащая написанному у М. Клайна), 1985 год, том 3, статья "Математическая логика", страница 571:

    Д. Гильберт писал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего, а "скорее тем, что математики пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, к-рые в моей теории доказательств исключаются сами собой. ...Отнять у математиков закон исключенного третьего - это то же, что забрать у астрономов телескоп или запретить боксерам использовать кулаки".

    Спрашивается, кому в этой непростой ситуации верить: Д.Гильберту, Математической энциклопедии, или же все-таки М. Клайну с Алексеем Копыловым? Eozhik (обс.) 08:49, 11 октября 2018 (UTC)


4.

Однако формализм потерял доверие учёных, когда в 1931 году появились теоремы Гёделя о неполноте,

-- Это тоже откуда? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

Это тоже выглядит абсурдом, потому что как раз на исчислении предикатов строятся нынешние аксиоматические теории множеств. А на них вся остальная математика (за исключением некоторых экзотических разделов логики). Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

5.

Доказать непротиворечивость арифметики удалось только с привлечением трансфинитной индукции (Генцен, 1936 год)

-- Это звучит как заявление, что Генцену удалось доказать непротиворечивость арифметики. Что неправда: ему удалось доказать только что непротиворечивость арифметики следует из непротиворечивости другой теории, которую он для этого специально придумал (а ее непротиворечивость остается недоказанной, и, более того, по теореме Геделя не может быть доказана). Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

  • Генцен доказал непротиворечивость арифметики используя аксиомы другой теории. Но это верно для любой теоремы, так что уточнение тут не обязательно. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)
Что верно для любой теоремы?

Но это верно для любой теоремы

Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)
Так что с этим? Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

6.

Отсюда следует, что аксиоматика натуральных чисел (любая, не только предложенная Пеано) не охватывает всё содержание арифметики.

-- Это тоже требует объяснений. Что под этим понимается? Eozhik (обс.) 10:04, 9 сентября 2018 (UTC)

  • На мой взгляд, из текста это ясно: существуют истиные теоремы, которые нельзя доказать, существуют нестандартные модели. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)
Что такое "истинные теоремы, которые нельзя доказать"?

существуют истиные теоремы, которые нельзя доказать

Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)
И с этим. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

7. Вот это тоже красиво звучит:

Гильберт верил, что для каждой математической теории можно найти систему аксиом, из которых чисто синтаксическими преобразованиями выводится любая математическая теорема данной теории, причём непротиворечивость, независимость и полноту этой системы можно будет, по его мнению, строго логически доказать.

Получается, любая теория должна быть непротиворечива, полна и обладать системой независимых аксиом. В том числе если теория с самого начала противоречива или неполна. Чтобы такое Гильберту приписывать нужно иметь серьезные доказательства. Где он это брякнул? Eozhik (обс.) 07:28, 12 сентября 2018 (UTC)

  • Очевидно, что "математическая теория" здесь означает не систему аксиому, а понимается в неформальном смысле, как любая из существующих математических теорий таких, как арифметика, геометрия, анализ. В этом значении такое утверждение до открытия теорем Геделя было вполне правдободобно. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)
Арифметикой, геометрией и анализом список математических теорий уже во времена Гильберта не исчерпывался (а сейчас тем более). Если Гильберт говорил о них, то так и надо написать. А если о чем-то другом, то нужно объяснить, о чем. И ссылку хорошо бы дать, чтобы читатель мог проверить это заявление. Eozhik (обс.) 19:10, 13 сентября 2018 (UTC)
И между этим

для каждой математической теории

и этим

любая из существующих математических теорий

-- имеется разница. Eozhik (обс.) 19:19, 13 сентября 2018 (UTC)
И это тоже, очевидно, какое-то эзотерическое знание. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)

8. И вот это:

Гильберт заметил (1904), что логика в ходе своего развития впитала в себя неустранимое понятие целого числа, поэтому обоснование числа с помощью логики есть движение по замкнутому кругу.

Откуда вы все это берете? Eozhik (обс.) 15:32, 16 сентября 2018 (UTC)

Это тоже звучит совсем странно. Потому что в современных теориях 1 порядка (в том числе аксиоматических теориях множеств), которые строятся на исчислении предикатов, созданном школой Гильберта, понятие числа благополучно конструируется из аксиом этих теорий. Что могло здесь иметься в виду -- большая загадка. Eozhik (обс.) 13:49, 22 сентября 2018 (UTC)
Авторы, вы где? Eozhik (обс.) 06:23, 11 сентября 2018 (UTC)
Господа, долго вы там будете думать? Eozhik (обс.) 06:28, 13 сентября 2018 (UTC)
Авторы Википедии не получают денег за свою работу, поэтому подгонять их считается невежливым. Основной автор этой статьи был неактивен за последние 4 дня. Вероятно у него есть другие дела. Набиритесь терпения. На часть вопросов я ответил. — Алексей Копылов 18:47, 13 сентября 2018 (UTC)

Я тоже не получаю денег за расчистку этих конюшен. Авторы, проблема так и осталась нерешенной. В настоящем виде статья выставляет Гильберта каким-то идиотом. При том, что именно этот человек внес главный вклад в разрешение кризиса математики начала 20 века. Написанное здесь производит впечатление каких-то обрывочных фраз, произнесенных кем-то когда-то (даже не самим Гильбертом) и вдобавок преобразованных до неузнаваемости по испорченному телефону. Это не называется аккуратно проделанная работа. И должно быть переделано. Eozhik (обс.) 11:32, 22 сентября 2018 (UTC)

u:Colt browning это выглядит неприлично. Вы если взялись так последовательно поучать меня ВП:ЭП все-таки высказались бы по этому поводу там, где мы это с Вами в последний раз обсуждали. Как насчет "ворот" в той истории? У меня Вы блох старательно выискиваете. Что у других? Eozhik (обс.) 12:42, 22 сентября 2018 (UTC)
Я поправил этот раздел в соответствии с высказаннами здесь замечаниями. Eozhik (обс.) 11:04, 2 октября 2018 (UTC)

О ссылках в разделе о формализме[править код]

Все, что я там написал — очевидные для математика (и общеизвестные в математической среде) вещи. В частности,

  1. Что в аксиоматических теориях множеств удалось избавиться от старых парадоксов — известный (и очевидный) факт. Он следует из того, хотя бы, что Гильберт, Гёдель и другие математики пытались доказать непротиворечивость математики. Если бы какие-то парадоксы, например, в теории Цермело-Френкеля, сохранились, никто бы о доказательстве непротиворечивости не думал, потому что математика была бы противоречивой. (И все думали бы о том, чтобы сначала избавиться от этих противоречий, а уж потом только доказывать, что в будущем новых противоречий не появится. И как раз так оно исторически и было.) Но явно сформулированным где-то это заявление (что в нынешних аксиоматических теориях множеств противоречий пока не нашлось) я не вижу в тех книгах, которые у меня сейчас под рукой. (Интересно будет поглядеть на развитие событий в вашей компании в связи с этим.)
  2. Это

    доказать непротиворечивость какой-либо теории, содержащей арифметику, в самой теории невозможно, и можно говорить только об относительной непротиворечивости таких теорий

    — явно записано в "Математическом энциклопедическом словаре" 1988 года, в статье "Непротиворечивость":

    Любое математическое доказательство непротиворечивости является относительным: оно лишь сводит вопрос непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой.

  3. Для этого

    Тем не менее, именно исследования Гильберта и его школы оставили наиболее глубокий след в области оснований математики и по существу сформировали современное лицо математики.

    — ссылкой может быть статья "Гильберт" в том же "Математическом энциклопедическом словаре" 1988 года:

    Первоначальные надежды Гильберта в этой области не оправдались: проблема непротиворечивости математических теорий оказалась глубже и труднее, чем Гильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическими основаниями математики в большой мере идет по путям, намеченным Гильбертом и пользуется созданными им концепциями.

    Написанное мной в этом абзаце — это более подробное объяснение сказанного в Словаре. Eozhik (обс.) 08:34, 11 октября 2018 (UTC)

Кажется, разрешилась проблема с этим:

Что в аксиоматических теориях множеств удалось избавиться от старых парадоксов — известный (и очевидный) факт... Но явно сформулированным где-то это заявление (что в нынешних аксиоматических теориях множеств противоречий пока не нашлось) я не вижу в тех книгах, которые у меня сейчас под рукой.

Вот ссылка: Evert W. Beth, The Foundations of Mathematics. A Study in the Philosophy of Science, New York, 1966, p.495.

The paradoxes of set theory — that is, the paradoxes of Cantor, of Burali-Forti, and of Zermelo-Konig — apparently originate from the liberality with which the comprehension axiom allows the introduction of new sets. So we should consider the problem whether it is possible to submit the introduction of new sets to restrictive conditions which are apposite in the following sense: the conditions should forestall the introduction of those sets which give rise to paradoxes. On the other hand, they should not impair those methods of construction which in the past have been found to be both useful and safe. Zermelo's axiomatisation constitutes a first tentative solution of this problem. We have seen that in this axiom system the comprehension axiom is replaced by a series of axioms, the bearing of which is relatively limited. It has been shown, nevertheless, that these axioms taken together allow the derivation of the typical theorems of classical set theory. We must now consider the question whether this axiomatisation really disposes of the paradoxes of set theory. A final answer to this question can be given only on the basis of a consistency proof; so far, however, such a proof has not been given, and on account of the theorem of Godel (c/. Section 218) it seems hardly probable — to express it mildly — that such a proof will ever be given. Therefore, we shall have to be content with an answer of a much more modest nature: it can be made clear that those arguments which in Cantor's original version of set theory gave rise to paradoxes are eliminated in virtue of the restrictions implied by the axiomatisations which Zermelo and others have given. We will restrict ourselves to a discussion of Zermelo's axiom system.

Eozhik (обс.) 19:33, 18 ноября 2018 (UTC)

Нет, это плохой источник, потому что там он как будто говорит только о трех парадоксах. Вот правильная ссылка: Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М.:Наука, 1987, c.92-93:

В рамках ZFC никаких противоречий до сих пор не обнаружено. С другой стороны, было доказано, что если ZFC непротиворечива, то этот факт нельзя установить средствами этой теории.

Eozhik (обс.) 08:12, 21 ноября 2018 (UTC)


Вот еще: H.-D.Ebbinghaus, J.Flum, W.Thomas, Mathematical Logic, 1984, p.112:

"Nevertheless, the fact that ZFC has been investigated and used in mathematics for decades and no inconsistency has been discovered, attests to the consistency of ZFC."

Здесь глагол "attests" режет глаз, но западные математики уверяют, что его надо переводить как "с большой вероятностью означает" или "свидетельствует в пользу". Eozhik (обс.) 08:53, 21 ноября 2018 (UTC)

О теории множеств[править код]

Это тоже требует уточнений:

Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны

Что за оппоненты, к каким именно аксиомам у них претензии и почему? Eozhik (обс.) 10:17, 9 сентября 2018 (UTC)

О канторовской теории множеств[править код]

И это:

Анализ этого требования показал, что оно, с одной стороны, недостаточно, так как не предотвращает полностью появления парадоксов, а с другой стороны, делает незаконными некоторые классические определения, например точной верхней и нижней границы множества

Я поглядел статью на эту тему. Для специалиста она написана непонятно. Если есть источник, в котором дается определение предикативности на языке теорий 1 порядка, то нужно его туда вставить (а статью перестроить, чтобы было понятно, о чем речь). Если нет - то нужно объяснить, что этот термин не был формализован (и не нашел применения) в современной математике и представляет только исторический интерес. Eozhik (обс.) 06:20, 11 сентября 2018 (UTC)


А это

Все эти споры поставили трудный вопрос — что вообще означает в математике понятие «существования»?

-- к теории множеств отношения не имеет, и не связано с этим

Например, было доказано, что поле вещественных чисел можно вполне упорядочить, но какое-либо описание этого порядка отсутствует[1][2].

, что в свою очередь звучит глупо, потому что описание порядка (как любой другой конструкции) в любой формальной теории или дается в аксиомах, или в теоремах, и ничего третьего не бывает, вопреки желаниям Панова и Клайна. В данном случае это теорема. Eozhik (обс.) 10:58, 8 декабря 2018 (UTC)

Преамбула и остальной текст[править код]

Господа, редакцией раздела о Гильберте чистка этого текста закончиться не может. В нем очень много еще странного и нелепого. Уже когда читаешь преамбулу видны ляпы, вдобавок со ссылками на другие статьи, в которые если заглянуть, то становится очевидно, что они тоже требуют правки. Главная моя претензия к вам (если вы еще не поняли) — что в этом тексте вы выставляете математику и математиков в идиотском свете, который ни она, ни они не заслуживают. При этом вы ссылаетесь на авторов, которые математиками не являются и пишут вещи, странные до абсурда. Я думаю, будет правильно вообще от таких ссылок избавиться. Я перечислю, что сразу бросается в глаза, и хотел бы, чтоб вы дали мне возможность поправить (не только это, но и что попутно увидится). Или, что было бы лучше, вы сами не хотите почистить этот текст, чтобы приглушить эту компоненту бесцеремонности? Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

  • Это так трогательно, что вы переживаете за «компоненту бесцеремонности», но сопротивляетесь моим попыткам сделать ваши ценные указания более читаемыми. И впечатляет, что вы выдвигаете претензии к имеющимся в статье источникам или попросту игнорируете их, но не приводите здесь не единого источника, который подкреплял бы ваши замечания. Предъявите такие источники, пожалуйста (я не пишу об этом ниже в каждом отдельном пункте). Не потому, что вам не доверяют, а потому что без источников нельзя писать статью. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)
Браунинг, это

вы переживаете за «компоненту бесцеремонности», но сопротивляетесь моим попыткам сделать ваши ценные указания более читаемыми

— оттого, что я забочусь о читателе, а не об авторах русской Википедии, успевших мне зарекомендовать себя с определенной стороны. Об источниках можете спрашивать, где это нужно. Большинство моих претензий в том, что написанное здесь как раз дается без ссылок на источники, или со ссылками на неавторитетные источники. Eozhik (обс.) 09:40, 4 октября 2018 (UTC)
Короткая точная последовательность: читатели, о которых мы с вами заботимся, читают статьи; статьи пишутся авторами; авторы внимают вашим ЦУ, если ЦУ читаемые и аргументированные. Если вы искренне хотите помочь читателям, сделайте ЦУ читаемыми или не мешайте мне делать их читаемыми, пожалуйста. Я не ставлю целью воспитывать вас или восстанавливать Справедливость. Что же касается источников, то сказанное вами не отменяет сказанного мной. --Браунинг (обс.) 09:58, 4 октября 2018 (UTC)
Браунинг, я хорошо владею русским языком, меня править не нужно. Тем более, ссылаясь на Этику, если Справедливость как цель Вас не интересует. Про источники спрашивайте в конкретных местах. Eozhik (обс.) 10:08, 4 октября 2018 (UTC)
Не на Этику, а на правила. Правила надо соблюдать. Русский язык здесь ни при чём. --Браунинг (обс.) 09:11, 4 декабря 2018 (UTC)
  • u:Colt browning вот так

    Правила надо соблюдать.

    -- бывает когда Правила (или их интерпретация) не противоречат общепринятой Этике. Здесь с этим имеются большие проблемы (и не только в области, которую мы уже обсуждали, но также и в самой этой статье, на странице обсуждений которой мы сейчас находимся). В таких случаях люди сначала устраняют эти проблемы, и уже только потом следуют (поправленным) Правилам. Eozhik (обс.) 18:40, 4 декабря 2018 (UTC)

1. Вот это

Основания математики — математическая система,

— звучит непонятно, потому что, что такое математическая система, я уверен, никто здесь объяснить не сможет. Я думаю, <<систему>> нужно заменить на <<область математики>>. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

  • Что именно такое основания математики О какой именно системе идёт речь, объясняется дальше тут же. Основаниями математики называют и систему первичные_объекты + аксиомы + средства_вывода, и область математики и философии, исследующую подходы к формированию оснований математики в первом смысле. Предложенный вариант охватывает лишь второй смысл, и то частично, поэтому я против. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)
<<Математическая система>> — звучит как термин. Автору этой фразы следует или дать ссылку, или отказаться от этого выражения. Eozhik (обс.) 10:11, 4 октября 2018 (UTC)
Можно упростить: «Основания математики — логические правила вывода математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом. Основания математики призваны гарантировать надёжность математических истин». — АлександрЛаптев (обс.) 14:45, 5 октября 2018 (UTC)
Нет, так нельзя, потому что в этой науке "правила вывода" — как раз термин, и он означает не всю теорию, а только ее фрагмент. Например, правило modus ponens или правила исчисления секвенций Генцена. Я думаю, можно в этом предложении заменить "математическую систему, разработанную с целью обеспечить вывод..." на "область математики, изучающую возможность вывода...". Eozhik (обс.) 08:38, 6 октября 2018 (UTC)
Я объяснил выше, что основания математики — не столько область математики (и философии математики), сколько объекты конкретной теории. Можно ли сказать, что теория категорий выступает как основания математики? Можно (хотя многие с этим не соглашаются). Унивалентные основания тоже основания математики. Это два разных набора оснований математики, две разные теории. И то и другое — основания, по отдельности. А не только какая-то весьма условная область, объединяющая и то и то. --Браунинг (обс.) 09:11, 4 декабря 2018 (UTC)
  • Вашим объяснениям, u:Colt browning, недостает ссылок на источники. Eozhik (обс.) 07:04, 5 декабря 2018 (UTC)
И это не единственный их недостаток. Eozhik (обс.) 07:07, 5 декабря 2018 (UTC)

2. Здесь

Таким образом, основания математики включают в себя три компонента

— <<таким образом>> следует убрать, потому что то, что написано после него, не следует от из того, что стоит перед ним. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

3. Это

Были предложены новые, строго формализованные системы, различающиеся своим философским подходом и пониманием сущности математического знания. Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений, однако оказалось, что вопрос о надёжности и непротиворечивости самих оснований вызвал немало проблем и даже логических противоречий.

— звучит так, как будто эти проблемы не были преодолены. Очевидно, это рудименты того, что писалось про Гильберта (что мол, у него ничего не получилось, и поэтому к полученными им результатам сейчас никто серьезно не относится). Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)


4. Это

В ходе логического анализа были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем; среди математиков возникли также разногласия по поводу того, какие аксиомы и какие логические средства вывода допустимы (или недопустимы) в аксиоматике оснований

— сильное преувеличение. Эти разногласия были при жизни Гильберта, и то среди кучки математиков, вне общего потока, а после его смерти, когда обнаружилось, что ничего внятного взамен эти математики предложить не могут, о разногласиях давно забыли. Сейчас все пользуются аксиоматическими теориями множеств, и никто их важность сомнению не подвергает. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

Ссылка? --Браунинг (обс.) 10:42, 4 октября 2018 (UTC)
На утверждение, что все пользуются аксиоматическими теориями множеств? Eozhik (обс.) 12:23, 4 октября 2018 (UTC)
  • Это не верно. Не все пользуются теорией множеств. Например, самая распространенный прувер (Coq) использует теорию типов, а не теорию множеств.
    Алексей Копылов 00:32, 10 октября 2018 (UTC)
  • Согласно математической энциклопедии 1985 года издания (том 5 стр.351-353), теория типов - это формальная теория 1 порядка. И значит, аксиоматическая теория. А простая теория типов (см. там же) — это вариант теории множеств. Что Вам не нравится? (Это не очень важно, но если уж зашла речь об этом прувере, интересно было бы узнать, что с его помощью удалось доказать.) Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)

5. Это тоже преувеличение:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»

Проблема обоснования решена. Единственное, что может не нравиться авторам дешевых сенсаций на эту тему — что она была решена не так, как себе это поначалу представлял Гильберт. Но цель, ради которой вся эта деятельность Гильбертом затевалась — избавление от противоречий — достигнута. Писать такие вещи о науке, к которой вдобавок никакого отношения не имеешь, — демонстрация верхоглядства. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

Ссылка? --Браунинг (обс.) 10:42, 4 октября 2018 (UTC)
Где говорится, что все накопленные парадоксы были устранены? Eozhik (обс.) 12:23, 4 октября 2018 (UTC)
  • В чем Вы видите проблему? Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)

6. Это тоже:

Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Про аксиому выбора я писал тут. Континуум-гипотеза вообще никому не нужна, от нее математикам ни холодно, ни жарко. Если кто о ней сейчас вспоминает — так это фанатики вроде тех, что теорему Ферма пытались доказать (и, между прочим, до сих пор еще кое-кто пытается). Про <<общепризнанное содержание математики>> звучало бы красочнее, если бы вы тут заявили, что <<математики нынче вообще не существует>>. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

  • Это отчасти верно, но не особо существенно. --Браунинг (обс.) 09:28, 4 октября 2018 (UTC)
У меня другое мнение. Это

нет общепризнанного содержания математики

— звучит абсурдно. И нахально. Eozhik (обс.) 10:13, 4 октября 2018 (UTC)


7. Это обезличенное мнение

Исследования в этой области продолжаются, хотя существует и мнение, что обоснование может быть полезно для развития отдельных математических теорий или философии, но математика в целом ни в каком обосновании не нуждается

— следует выбросить из текста. Eozhik (обс.) 08:45, 4 октября 2018 (UTC)

  • Eozhik, при редактировании раздела о Гильберте, вы удалили несколько фраз с источниками, а сами добавили содержание без единого источника! Это не дело. Статьи в Википедии не пишутся «из головы». Перед вами должен быть авторитетный источник, на основании которого вы редактируйте статью. Для избранных статей принято, чтобы в каждом параграфе были ссылки на источники. После ваших правок, это требование оказалось нарушенным. Поэтому убедительная просьба:
  1. Если вы удаляете текст, всегда пишите комментарий к правке с причиной удаления (можно сослаться на СО, где эта причина описывается). Комментарии к правке желательны всегда, но при удалении текста они практически обязательны.
  2. Если вы удаляете текст, снабженный источником, то причина должна быть серьезной и конкретной и основываться на источниках, а не на вашем личном отношении к удаляемому тексту. Возможные причины удаления текста снабженного источниками:
    1. Нет в источнике (предполагается, что вы смотрели источник, но не нашли там этой информации)
    2. Информация в источнике передана некорректно (в источнике сказано так-то, а в статье так-то)
    3. Не авторитетный источник, с обязательным обоснованием неавторитетности. Если источник — книга, изданная в серьезном издательстве, или статья в рецензируемом журнале, то обоснования неавторитетности должны быть серьезными, например, другой авторитетный источник, который говорит, что автор — некомпетентен, или что в работе есть ошибки, или просто утверждает противоположное. То что источник вам кажется неавторитетным, не может быть обоснованием неавторитетности. То что у автора нет математических работ — тоже не может быть обоснованием неавторитетности.
    4. Информация в источнике устарела, или не выражает мнение большинства современных ученных. В этом случае обязательно надо дать более современный источник, на основе которого сделан этот вывод.
    5. Информация правильная, но не имеет отношение к теме статьи или раздела, или её лучше поместить в другое место.
  3. Примеры причин, которые не могут быть валидными при удалении текста с источниками: «следует выбросить из текста», «у меня другое мнение», «звучит абсурдно», «очевидно, что это не так».
  4. При добавлении информации всегда указывайте источники, откуда эта информация взята. Это основное правило Википедии, им нельзя пренебрегать, особенно при редактировании избранных статей.
К вашим замечаниям 1-7 к преамбуле у меня одна и та же претензия: вам не нравиться фраза в преамбуле, снабженная ссылкой на авторитетный источник, но при этом сами вы не приводите источники, которые обосновывают ваше мнение. Действуя таким образом, вы не сможете убедить других в своей правоте. Вы должны обосновать, почему фраза должна быть убрана (см. возможные причины 2.1-2.5 выше) и, если вы считаете, что фраза должна быть переписана, указать источник, на основе которого фраза должна быть переписана. — Алексей Копылов 00:29, 10 октября 2018 (UTC)

вам не нравиться фраза в преамбуле

— "нравится" в этом предложении должно писаться без мягкого знака. А "Вам" — с большой буквы. О какой фразе "со ссылкой на авторитетный источник" Вы говорите? Eozhik (обс.) 22:21, 10 октября 2018 (UTC)
И Алексей Копылов, после Вашей правки эта фраза присутствует дважды в тексте:

в своём выступлении на Международном математическом конгрессе 1928 года, Гильберт оптимистично заявил: «Не сомневаюсь, что наш новый подход к основаниям математики, который можно было бы назвать теорией доказательства, позволит навсегда покончить со всеми проблемами обоснования математики»

Eozhik (обс.) 05:10, 11 октября 2018 (UTC)

повторы в "формализме"[править код]

абзац про "оптимистичные высказывания гильберта" дважды повторяется с одной и той же цитатой 213.138.94.34 14:50, 13 ноября 2018 (UTC)

✔ Исправлено, спасибо. --Браунинг (обс.) 14:54, 13 ноября 2018 (UTC)

Об М.Клайне[править код]

Я инициировал дискуссию на сайте math.stackexchange.com по поводу цитируемого тут сочинения этого автора. Там мне накидали ссылок на рецензии. Их много. Часть рецензентов соглашаются, что этому автору можно доверять, когда он пишет о математике до 19 столетия. Но когда он заводит речь о современной математике, в частности, о Гильберте и его школе, попавшиеся мне на глаза рецензенты сходятся в том, что здесь он выходит далеко за рамки своей компетентности. Вот несколько цитат.

Mathematical Reviews, J. Corcoran:

"The author's grasp of twentieth century logic is not reliable... The philosophical confusions and the foundational inaccuracies are intimately related and are perhaps jointly explainable by reference to the author's misunderstanding of the complex of traditional philosophic distinctions which have been both exploited by and clarified by modern foundational work... One can only regret the philosophical, foundational, and historical inadequacies which vitiate the main argument..."

American Mathematical Monthly, Raymond G. Ayoub:

"Professor Kline does not deal honestly with his readers. He is a learned man and knows perfectly well that many mathematical ideas created in abstracto have found significant application in the real world. He chooses to ignore this fact, acknowledged by even the most fanatic opponents of mathematics. He does this to support an untenable dogma. One is reminded of the story of the court jester to Louis XIV: the latter had written a poem and asked the jester his opinion. 'Your majesty is capable of anything. Your majesty has set out to write doggerel and your majesty has succeeded.' On balance, such, alas, must be said of this book."

Modern Logic, Thomas Drucker:

"His descriptions suffer from his extreme position as applied mathematician... Kline's zeal obscures his perspective."

Zentralblatt MATH, W. Rehder

"The book has disappointed me in two respects: (1) as to the contents and views, nothing much is new; (2) as to the style of presentation, it is too loose, too additive, and a little pretentious."

Educational Studies in Mathematics, Ian Stewart:

"This book is firmly in the tradition that we have come to expect from this author; and my reaction to it is much like my reaction to its predecessors: I think three quarters of it is superb, and the other quarter is outrageous nonsense; and the reason is that Morris Kline really doesn't understand what today's mathematics is about, although he has an enviable grasp of yesterday's."

Мне лично ближе всего последнее мнение.

Вопрос: этого достаточно, чтобы, наконец, признать этого автора неавторитетным источником в области современной математики и убрать из текста проповедуемую им ахинею, за которую вы так упорно цепляетесь

Чтобы сделать свою идеологию общеприемлемой, Гильберт исключил из числа допустимых логических действий многие из самых спорных моментов — доказательство от противного, актуально бесконечные множества, непредикативные определения, трансфинитную индукцию

 ? Eozhik (обс.) 16:04, 13 ноября 2018 (UTC)

Вот на русском языке для тех, кому лень переводить. Eozhik (обс.) 16:05, 17 ноября 2018 (UTC)

  • В соответствии с отмеченным, я убрал ссылки на этого автора в разделе "Формализм", кроме одной: там где он пишет о критике Гильберта. Eozhik (обс.) 07:46, 4 декабря 2018 (UTC)
  1. Аргументация против Клайна представляется мне убедительной и неопровергнутой.
  2. Свежими правками также под шумок были убраны некоторые ссылки на Панова. Я не имею по этому поводу определённого мнения, просто отмечаю для общего све́дения.
  3. Надо поправить оформление и, наверное, подсократить цитаты, это я сделаю, если кто-то ещё не сделает раньше.
  4. Ссылки и цитаты, добавленные к фразе «Одновременно таким формальным уточнением математических понятий и приемов удалось избавиться от всех накопленных к тому времени противоречий в математике», мне нравятся сами по себе, но явно стоят не у того утверждения и не в том разделе.
--Браунинг (обс.) 09:05, 4 декабря 2018 (UTC)
  • Вроде эти цитаты как раз к месту. Они доказывают, что от парадоксов избавились. Eozhik (обс.) 09:09, 4 декабря 2018 (UTC)
  • Цитаты всё-таки про более современное состояние вопроса (что ZFC били, били, не разбили), а в этом месте статьи речь про то, что уже тогда стараниями Гильберта с коллегами были решены накопившиеся проблемы. Да и аббревиатура ZFC здесь не упоминается. --Браунинг (обс.) 09:15, 4 декабря 2018 (UTC)
  • А прямую ссылку на Гильберта и его школу в этом контексте я не увидел, только такой "вывод из общего факта". Но, во-первых, это лучше, чем вообще без доказательства. А, во-вторых, по-моему, этого и достаточно. Eozhik (обс.) 09:50, 4 декабря 2018 (UTC)
  • Насчет Панова. Это заявление

    "Математика была вынуждена бесповоротно отказаться от претензий на абсолютную достоверность или значимость своих результатов"

    --- не может оставаться без последствий. Все, что пишет этот автор нужно тщательно проверять и искать этому независимые ссылки. Что формально делает лишним упоминание о нем вообще. Eozhik (обс.) 09:54, 4 декабря 2018 (UTC)

Гильберт и непротиворечивость[править код]

Вот это утверждение тоже требует ссылки (и уточнения):

Для доказательства непротиворечивости какой-либо системы аксиом Гильберт использовал построение модели этой системы в другой аксиоматике — например, непротиворечивость евклидовой геометрии имеет место, если непротиворечива система вещественных чисел, непротиворечивость аксиом целых чисел сводится к непротиворечивости натуральных чисел.

Эта идея как минимум не Гильберту принадлежит, а восходит к Бельтрами и Паункаре. Где и что точно Гильберт писал про это? Eozhik (обс.) 03:32, 15 ноября 2018 (UTC)

О полноте[править код]

И @LGB: между этим

В математической логике теория называется полной, если любая синтаксически корректная замкнутая формула или ее отрицание доказуемы в данной теории

-- и этим

полноту, то есть способность доказать или опровергнуть любое корректное утверждение данной теории;

-- имеется разница. Eozhik (обс.) 03:45, 15 ноября 2018 (UTC)

О "математической системе, разработанной с целью обеспечить вывод"[править код]

@Colt browning: что за соображения стоят за этим? Eozhik (обс.) 09:59, 4 декабря 2018 (UTC)

  • @Colt browning: вопрос в том, где автор этого фрагмента нашел термин "математическая система", и что он значит.
  • Авторы! Кто вообще готов нести ответственность за это:

    Основания математики — математическая система, разработанная с целью обеспечить вывод математического знания из небольшого числа чётко сформулированных аксиом с помощью логических правил вывода, тем самым гарантируя надёжность математических истин[3]. Основания математики включают в себя три компонента[4]. 1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты). 2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

    ? Хотелось бы задать несколько вопросов этому человеку. Eozhik (обс.) 18:27, 4 декабря 2018 (UTC)
@LGB: судя по этой и этой правкам, это Ваше творчество. В связи с этим вопросы:
1) Рассел и Уайтхед такого словосочетания "математическая система" не произносят. Какой смысл несет в Вашем тексте ссылка на предисловие к их книге?
2) Эдельман на странице 127, на которую Вы ссылаетесь, говорит не об основаниях математики, как Вы тут пишете, а о синтаксических теориях, и вдобавок пишет о них совсем не то, что Вы. А вот что:

Предварительно еще раз отметим, что всякая синтаксическая теория характеризуется: 1) алфавитом, т.е. множеством символов, используемых для построения формул теории; 2) системой аксиом, т. е. некоторым множеством формул, называемых аксиомами; 3) правилами вывода, позволяющими из одних формул получать другие формулы рассматриваемой синтаксической теории.

У Вас же в голове это преобразовалось в такое:

Основания математики включают в себя три компонента[5]. 1. Первичные математические объекты максимальной общности (не определяемые через другие математические объекты). 2. Перечень свойств первичных объектов в виде списка аксиом, считающихся истинными. 3. Набор логических средств вывода, позволяющий получать из истинных утверждений другие, столь же истинные.

Вы не хотите это прокомментировать? Eozhik (обс.) 06:23, 5 декабря 2018 (UTC)

Еще раз о преамбуле[править код]

Это

Все эти системы были предназначены для обеспечения надёжности математических утверждений, однако оказалось, что вопрос о надёжности и непротиворечивости самих оснований вызвал немало проблем и даже логических противоречий. В ходе логического анализа были обнаружены принципиальные ограничения возможностей формальных систем; среди математиков возникли также разногласия по поводу того, какие аксиомы и какие логические средства вывода допустимы (или недопустимы) в аксиоматике оснований[3].

-- звучит так, как будто эти проблемы появились в результате обсуждений и до сих пор не устранены. При том, что все было наоборот: сначала появились проблемы, потом их стали обсуждать и анализировать ситуацию, и в итоге проблемы устранили. Какое именно место в Британнике мог иметь в виду автор, ссылаясь на нее в этом контексте? Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)


Насчет этого:

Общепризнанных оснований математики не существует, и «проблема обоснования математики всё еще остаётся далёкой от своего решения»[5].

1. Это звучит абсурдно. Как если бы человек заявил, что общепризнанной медицины не существует, потому что у каждого врача имеется свое мнение о том, как лучше лечить больных. 2. Странного в этом ничего нет, потому что автор -- не математик. Цитируемое его сочинение не может быть авторитетным источником в этой области. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)


Это из той же серии:

Более того, нет общепризнанного содержания математики — такие фундаментальные утверждения, как аксиома выбора или континуум-гипотеза, недоказуемы и не имеют убедительного интуитивного обоснования, поэтому принятие или непринятие их, а также их многочисленных следствий, зависит только от личного мнения математика.

Существует много разных математических теорий. Нет ничего ненормального, что они по-разному описывают картину мира. Например, евклидова геометрия -- не то же что геометрия Лобачевского. Или физические теории. Из этого не следует, что общепризнанного содержания у этой науки вообще нет. Все эти теории считаются частью математики, и я никогда не видел, чтобы математики спорили друг с другом, какая геометрия правильнее, евклидова или Лобачевского. И то же самое с аксиомами теории множеств. Споры на эту тему --- удел дилетантов, не понимающих, о чем речь и способных воспринимать только маргинальные источники. Вы ссылку в этом месте дайте, если настаиваете на такой формулировке. Eozhik (обс.) 23:22, 6 декабря 2018 (UTC)

Об аксиоме выбора[править код]

Это заявление абсурдно:

Эта аксиома объявляет существующим множество, о составе которого ничего не известно

Ничего похожего в аксиоме выбора нет. Дайте ссылку на соответствующий маргинальный источник, и его можно будет обсуждать. Или выбросьте эту глупость из статьи. Eozhik (обс.) 23:36, 6 декабря 2018 (UTC)

О "теории множеств как основании математики"[править код]

1. Когда говорят об основаниях математики, слово "основание" нигде не произносится в единственном числе. Eozhik (обс.) 23:43, 6 декабря 2018 (UTC)

2. Это

Оппоненты утверждают, что некоторые аксиомы интуитивно не обоснованы и искусственны

--- логично писать в разделе "критика". Сославшись при этом на авторитетные источники и убрав маргинальные. Eozhik (обс.) 23:43, 6 декабря 2018 (UTC)

Опять про "Дальнейшее развитие"[править код]

Что за место у Мостовского имел автор в виду этим?

Многие аксиомы (или даже целые аксиоматики) имеют существенно иные альтернативы, у которых равные права на признание, потому что интуитивное предпочтение одного из вариантов невозможно объективно обосновать — вопрос, какая альтернатива «правильная», лишён смысла[77]

Eozhik (обс.) 23:45, 6 декабря 2018 (UTC)


Это мы уже обсуждали:

Практически это означает, что существует не одна математика, а целое бесконечное их семейство, члены которого несовместимы друг с другом — например, та же аксиома выбора и альтернативная ей аксиома детерминированности.

Где ссылка? Eozhik (обс.) 23:54, 6 декабря 2018 (UTC)


Эта мысль, как я вижу, так занимает ваше воображение, что избавиться от нее никак не получается, хочется ее в любом виде протолкнуть:

Поскольку разные варианты математики нередко содержат разные результаты, математика не может более рассматриваться как источник абсолютных истин, справедливых независимо от формальных оснований математической теории.

Это про многие науки можно сказать, например про физику тоже. Вы не хотите и в статью про нее такое вставить? И где ссылка? Eozhik (обс.) 23:54, 6 декабря 2018 (UTC)

  1. Панов В. Ф., 2006, с. 504—505.
  2. Клайн М., 1984, с. 248—250, 313.
  3. Яровой Г., Радаев Ю., 2005—2006, Том 1, стр. 10.
  4. Эдельман С. Л. Математическая логика. Учеб. пособие для ин-тов. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 127. — 176 с.
  5. Эдельман С. Л. Математическая логика. Учеб. пособие для ин-тов. — М.: Высшая школа, 1975. — С. 127. — 176 с.