Криволинейная система координат

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Криволине́йная систе́ма координа́т, или криволине́йные координа́ты — система координат в евклидовом (аффинном) пространстве, или в области, содержащейся в нём. Криволинейные координаты не противопоставляются прямолинейным, последние суть частный случай первых. Применяются обычно на плоскости (n=2) и в пространстве (n=3); число координат равно размерности пространства n. Наиболее известным примером криволинейной системы координат являются полярные координаты на плоскости.

Локальные свойства криволинейных координат[править | править вики-текст]

При рассмотрении криволинейных координат в данном разделе мы будем полагать, что рассматриваем трёхмерное пространство (n=3), снабженное декартовыми координатами x, y, z. Случай других размерностей отличается лишь количеством координат.

В случае евклидова пространства метрический тензор, именуемый также квадратом дифференциала дуги, будет в этих координатах иметь вид, соответствующий единичной матрице:

Общий случай[править | править вики-текст]

Криволинейные координаты в трёхмерном аффинном пространстве

Пусть , ,  — некие криволинейные координаты, которые мы будем считать заданными гладкими функциями от x, y, z. Для того, чтобы три функции , , служили координатами в некоторой области пространства, необходимо существование обратного отображения:

где  — функции, определённые в некоторой области наборов координат.

Локальный базис и тензорный анализ[править | править вики-текст]

В тензорном исчислении можно ввести вектора локального базиса: , где  — орты декартовой системы координат,  — матрица Якоби, координаты в декартовой системе,  — вводимые криволинейные координаты.
Не трудно видеть, что криволинейные координаты, вообще говоря, меняются от точки к точке.
Укажем формулы для связи криволинейных и декартовых координат:

где , где Е — единичная матрица.
Произведение двух векторов локального базиса образует метрическую матрицу:


, где контравариантный, ковариантный и смешанный символ Кронекера
Таким образом любое поле тензора ранга n можно разложит по локальному полиадному базису:

Например, в случае поле тензора первого ранга (вектора) :

Ортогональные криволинейные координаты[править | править вики-текст]

В евклидовом пространстве особое значение имеет использование ортогональных криволинейных координат, поскольку формулы, имеющие отношение к длине и углам, выглядят в ортогональных координатах проще, нежели в общем случае. Что связано с тем, что метрическая матрица в системах с ортонормированным базисом будет диагональной, что существенно упростит расчёты.
В качестве примера таких систем можно привести сферическую систему в

Коэффициенты Ламе[править | править вики-текст]

Выпишем дифференциал дуги в криволинейных координатах в виде (используется правило суммирования Эйнштейна):

Принимая во внимание ортогональность систем координат ( при ) это выражение можно переписать в виде

где

Положительные величины , зависящие от точки пространства, именуются коэффициентами Ламе или масштабными коэффициентами. Коэффициенты Ламе показывают, сколько единиц длины содержится в единице координат данной точки и используются для преобразования векторов при переходе от одной системы координат к другой.

Тензор римановой метрики, записанный в координатах , представляет из себя диагональную матрицу, на диагонали которой стоя́т квадраты коэффициентов Ламе:


для ij
, то есть

Примеры[править | править вики-текст]

Полярные координаты (n=2)[править | править вики-текст]

Полярные координаты на плоскости включают расстояние r до полюса (начала координат) и направление (угол) φ.

Связь полярных координат с декартовыми:

Коэффициенты Ламе:

Дифференциал дуги:

В начале координат функция φ не определена. Если координату φ считать не числом, а углом (точкой на единичной окружности), то полярные координаты образуют систему координат в области, полученной изо всей плоскости изъятием точки начала координат. Если всё-таки считать φ числом, то в означенной области оно будет многозначно, и построение строго в математическом смысле системы координат возможно лишь в односвязной области, не включающей начало координат, например, на плоскости без луча.

Цилиндрические координаты (n=3)[править | править вики-текст]

Cylindrical with grid.svg

Цилиндрические координаты являются тривиальным обобщением полярных на случай трёхмерного пространства путём добавления третьей координаты z. Связь цилиндрических координат с декартовыми:

Коэффициенты Ламе:

Дифференциал дуги:

Сферические координаты (n=3)[править | править вики-текст]

Spherical coordinate elements.svg

Сферические координаты связаны с координатами широты и долготы на единичной сфере. Связь сферических координат с декартовыми:

Коэффициенты Ламе:

Дифференциал дуги:

Сферические координаты, как и цилиндрические, не работают на оси z {x=0, y=0}, поскольку координата φ там не определена.

Различные экзотические координаты на плоскости (n=2) и их обобщения[править | править вики-текст]

Ортогональные:

Прочие:

Криволинейные координаты с точки зрения дифференциальной геометрии[править | править вики-текст]

Криволинейные координаты, определённые в различных областях евклидова (аффинного) пространства, можно рассматривать как применение к пространству понятия гладкого многообразия. А именно, как построение атласа карт.

Литература[править | править вики-текст]

  • Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1974. — 832 с.