Преобразование Хаусхолдера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Преобразование Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — линейное преобразование векторного пространства , которое описывает его отображение относительно гиперплоскости, которая проходит через начало координат.

Было предложено в 1958 американским математиком Элстоном Скоттом Хаусхолдером.

Широко применяется в линейной алгебре для QR разложения матрицы.

Определения[править | править вики-текст]

Пусть гиперплоскость описывается единичным вектором , который ортогонален ей, а  — скалярное произведение в , тогда

называется оператором Хаусхолдера.

Матрица Хаусхолдера имеет вид:

В русскоязычной литературе она также называется матрицей отражения.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Матрица Хаусхолдера является эрмитовой:
  • Матрица Хаусхолдера является унитарной:
  • Значит она является инволюцией: .
  • Преобразование отображает точку в точку
  • Преобразование Хаусхолдера имеет одно собственное значение равное (-1), которое отвечает собственному вектору , все другие собственные значения равны (+1).
  • Определитель матрицы Хаусхолдера равен (-1).

Литература[править | править вики-текст]

  • Alston S. Householder, Unitary Triangularization of a Nonsymmetric Matrix, Journal ACM, 5 (4), 1958, 339—342. DOI:10.1145/320941.320947

Ссылки[править | править вики-текст]