QR-разложение

$QR$-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.

Определение

Матрица $A$ размера $n\times n$ с комплексными элементами может быть представлена в виде:

$A=QR,$

где $Q$ — унитарная матрица размера $n\times n$, а $R$ — верхнетреугольная матрица размера $n\times n$.

В частном случае, когда матрица $A$ состоит из вещественных чисел, $Q$ является ортогональной матрицей (то есть $Q^{T}Q=I$, где $I$ — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения: $QL$-, $RQ$-, и $LQ$-разложения, где $L$ — нижнетреугольная матрица.

Свойства

Если $A$ — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное $QR$-разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы $R$ должны быть положительными вещественными числами.

Алгоритмы

$QR$-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Альтернативные алгоритмы для вычисления $QR$-разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.