QR-разложение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для термина «QR» см. также другие значения.

-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.

Определение[править | править код]

Матрица размера с комплексными элементами может быть представлена в виде:

где  — унитарная матрица размера , а  — верхнетреугольная матрица размера .

В частном случае, когда матрица состоит из вещественных чисел, является ортогональной матрицей (то есть , где  — единичная матрица).

По аналогии, можно определить варианты этого разложения: -, -, и -разложения, где  — нижнетреугольная матрица.

Свойства[править | править код]

Если  — квадратная невырожденная матрица, то существует единственное -разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы должны быть положительными вещественными числами.

Алгоритмы[править | править код]

-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.

Альтернативные алгоритмы для вычисления -разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.

Пример QR-разложения[править | править код]

Рассмотрим матрицу:

Через обозначим векторы-столбцы заданной матрицы Получаем следующий набор векторов:

Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:

Из полученных векторов составляем по столбцам матрицу Q из разложения:

Полученная матрица является ортогональной, это означает, что

Найдем матрицу из выражения :

– искомая верхнетреугольная матрица.

Получили разложение