-разложение матрицы — представление матрицы в виде произведения унитарной (или ортогональной матрицы) и верхнетреугольной матрицы. QR-разложение является основой одного из методов поиска собственных векторов и чисел матрицы — QR-алгоритма.
Матрица
размера
с комплексными элементами может быть представлена в виде:

где
— унитарная матрица размера
, а
— верхнетреугольная матрица размера
.
В частном случае, когда матрица
состоит из вещественных чисел,
является ортогональной матрицей (то есть
, где
— единичная матрица).
По аналогии, можно определить варианты этого разложения:
-,
-, и
-разложения, где
— нижнетреугольная матрица.
Если
— квадратная невырожденная матрица, то существует единственное
-разложение, если наложить дополнительное условие, что элементы на диагонали матрицы
должны быть положительными вещественными числами.
-разложение может быть получено различными методами. Проще всего оно может быть вычислено, как побочный продукт в процессе Грама — Шмидта. На практике следует использовать модифицированный алгоритм Грама ― Шмидта, поскольку классический алгоритм обладает плохой численной устойчивостью.
Альтернативные алгоритмы для вычисления
-разложения основаны на отражениях Хаусхолдера и вращениях Гивенса.
Рассмотрим матрицу:
Через
обозначим векторы-столбцы заданной матрицы
Получаем следующий набор векторов:
Далее, применяем алгоритм ортогонализации Грама – Шмидта и нормируем полученные вектора, получаем следующий набор:
Из полученных векторов
составляем по столбцам матрицу Q из разложения:
Полученная матрица является ортогональной, это означает, что
Найдем матрицу
из выражения
:
– искомая верхнетреугольная матрица.
Получили разложение
 Векторы и матрицы |
---|
Векторы | Основные понятия | |
---|
Виды векторов | |
---|
Операции над векторами | |
---|
Типы пространств | |
---|
|
---|
Матрицы | |
---|
Другое | |
---|