Процесс Грама ― Шмидта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Процесс ГрамаШмидта — это один из алгоритмов, в которых на основе счётного множества линейно независимых векторов строится множество ортогональных векторов или ортонормированных векторов , причём так, что каждый вектор или может быть выражен линейной комбинацией векторов .

Классический процесс Грама — Шмидта[править | править код]

Алгоритм[править | править код]

Пусть имеются линейно независимые векторы и пусть  — оператор проекции вектора на вектор , определённый как

где  — скалярное произведение векторов и .

Классический процесс Грама — Шмидта выполняется следующим образом:

На основе каждого вектора может быть получен нормированный вектор единичной длины, определённый как

Результаты процесса Грама — Шмидта:

 — система ортогональных векторов либо

 — система ортонормированных векторов.

Вычисление носит название ортогонализации Грама — Шмидта, а  — ортонормализации Грама — Шмидта.

Доказательство[править | править код]

Доказательство основывается на том, что проекция сохраняет скалярное произведение с , то есть,

,

откуда следует, что . Кроме того, проекция коллинеарна вектору , то есть для некоторой константы .

Таким образом, если обозначить , можно по индукции показать, что для выполняется

Здесь было учтено предположение индукции о том, что при .

Геометрическая интерпретация[править | править код]

Рис. 1. Второй шаг процесса Грама — Шмидта

Рассмотрим формулу (2) — второй шаг алгоритма. Её геометрическое представление изображено на рис. 1:

  1. получение проекции вектора на ;
  2. вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование на . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (2) вектор ;
  3. перемещение полученного на шаге 2 вектора в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности;

На рисунке видно, что вектор ортогонален вектору , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на .

Рассмотрим формулу (3) — третий шаг алгоритма — в следующем варианте:

Её геометрическое представление изображено на рис. 2:

Рис. 2. Третий шаг процесса Грама — Шмидта
  1. получение проекции вектора на ;
  2. получение проекции вектора на ;
  3. вычисление суммы , то есть проекции вектора на плоскость, образуемую векторами и . Эта плоскость закрашена на рисунке серым цветом;
  4. вычисление , то есть перпендикуляра, которым выполняется проецирование на плоскость, образуемую векторами и . Этот перпендикуляр — вычисляемый в формуле (6) вектор ;
  5. перемещение полученного в начало координат. Это перемещение сделано на рисунке лишь для наглядности. Оно не является математическим действием и поэтому не отражается в формуле (6).

На рисунке видно, что вектор ортогонален векторам и , так как является перпендикуляром, по которому проецируется на плоскость, образуемую векторами и .

Таким образом, в процессе Грама — Шмидта для вычисления выполняется проецирование ортогонально на гиперплоскость, натянутую на векторы . Вектор затем вычисляется как разность между и его проекцией. То есть  — это перпендикуляр от к гиперплоскости, натянутой на векторы . Поэтому ортогонален векторам, образующим эту гиперплоскость.

Особые случаи[править | править код]

Процесс Грама — Шмидта может применяться также к бесконечной последовательности линейно независимых векторов.

Кроме того, процесс Грама — Шмидта может применяться к линейно зависимым векторам. В этом случае он выдаёт (нулевой вектор) на шаге , если является линейной комбинацией векторов . Если это может случиться, то для сохранения ортогональности выходных векторов и для предотвращения деления на ноль при ортогонализации алгоритм должен и отбрасывать нулевые векторы. Количество векторов, выдаваемых алгоритмом, будет равно размерности подпространства, порождённого векторами (то есть количеству линейно независимых векторов, которые можно выделить среди исходных векторов).

Свойства[править | править код]

  • Произведение длин равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах системы как на рёбрах.

Дополнительные толкования[править | править код]

Процесс Грама ― Шмидта может быть истолкован как разложение невырожденной квадратной матрицы в произведение ортогональной (или унитарной в случае эрмитова пространства) и верхнетреугольной матрицы с положительными диагональными элементами ― QR-разложение, что является частным случаем разложения Ивасавы[источник не указан 186 дней].

Литература[править | править код]

  • Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. — М.: Наука.

Ссылки[править | править код]