Ортогональная матрица

Ортогона́льная ма́трица — квадратная матрица $A$ с вещественными элементами, результат умножения которой на транспонированную матрицу $A^{T}$ равен единичной матрице:

$AA^{T}=A^{T}A=E,$

или, что эквивалентно, её обратная матрица (которая обязательно существует) равна транспонированной матрице:

$A^{-1}=A^{T}.$

Комплексным аналогом ортогональной матрицы является унитарная матрица.

Ортогональная матрица с определителем $+1$ называется специальной ортогональной.

Свойства

• Ортогональная матрица является унитарной ($Q^{-1}=Q^{*}$) и, следовательно, нормальной ($Q^{*}Q=QQ^{*}$).
• Столбцы и строки ортогональной матрицы образуют системы ортонормированных векторов, то есть:

$\sum _{i}A_{ij}A_{ik}=\delta _{jk}$

и

$\sum _{i}A_{ji}A_{ki}=\delta _{jk}$

где $i\in \{1,\;\ldots ,\;n\}$, $n$ — порядок матрицы, а $\delta _{jk}$ — символ Кронекера.

Другими словами, скалярное произведение строки на саму себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Это же справедливо и для столбцов.

• Определитель ортогональной матрицы равен $\pm 1$, что следует из свойств определителей:

  $1=\det(E)=\det(A^{T}A)=\det(A^{T})\det(A)=\det(A)\det(A)=\det(A)^{2}=1.$

Обратное неверно; матрица с определителем $\pm 1$ может быть неортогональной. Так, матрица ${\textstyle {\begin{pmatrix}3&0\\0&1/3\\\end{pmatrix}}}$ неортогональна, хотя её определитель равен 1.

• Множество ортогональных матриц порядка $n$ над полем $k$ образует группу по умножению, так называемую ортогональную группу, которая обозначается $O_{n}(k)$ или $O(n,\;k)$ (если $k$ опускается, то предполагается $k=\mathbb {R}$).
• Линейный оператор, заданный ортогональной матрицей, переводит ортонормированный базис линейного пространства в ортонормированный.
• Матрица вращения является специальной ортогональной. Матрица отражения является ортогональной.
• Любая ортогональная матрица подобна блочно-диагональной матрице с блоками вида

$(\pm 1)$ и ${\begin{pmatrix}\ \ \ \cos \varphi &\sin \varphi \\-\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}.$

Примеры

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\\end{pmatrix}}$ — единичная матрица.

• ${\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\\\end{pmatrix}}$ — матрица, отражающая плоскость относительно оси Х.

• ${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{pmatrix}}$  — матрица поворота плоскости на угол θ.

• ${\begin{pmatrix}0{,}96&-0{,}28\\0{,}28&\;\;\,0{,}96\\\end{pmatrix}}$ — пример матрицы поворота.

• ${\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}$ — пример перестановочной матрицы.

• ${\begin{pmatrix}\cos \alpha \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma &-\sin \alpha \cos \beta &-\cos \alpha \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma \\\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma +\sin \alpha \cos \gamma &\cos \alpha \cos \beta &\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \gamma \\\cos \beta \sin \gamma &-\sin \beta &\cos \beta \cos \gamma \end{pmatrix}}$ — матрица поворота, выраженная через углы Эйлера.

См. также

• Унитарная матрица
• Ортогональное преобразование
• Ортогональная группа
• Специальная ортогональная группа