Треугольная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Верхнетреугольная матрица»)
Перейти к: навигация, поиск

Треуго́льная ма́трица — в линейной алгебре квадратная матрица, у которой все элементы, стоящие ниже (или выше) главной диагонали, равны нулю.

Пример верхней треугольной матрицы

Основные определения[править | править код]

Верхняя треугольная матрица (или верхнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы ниже главной диагонали равны нулю: при [1][2]

Нижняя треугольная матрица (или нижнетреугольная матрица) — квадратная матрица , у которой все элементы выше главной диагонали равны нулю: при [1][2].

Унитреугольная матрица (верхняя или нижняя) — треугольная матрица , в которой все элементы на главной диагонали равны единице: [3].

Диагональная матрица является одновременно и верхней треугольной, и нижней треугольной[4].

Применение[править | править код]

Треугольные матрицы используются в первую очередь при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Например, метод Гаусса решения СЛАУ основан на следующем результате[5]:

Тем самым решение исходной СЛАУ сводится к решению системы линейных уравнений с треугольной матрицей коэффициентов, что не представляет сложностей.

Существуют вариант этого метода (называемый компактной схемой метода Гаусса), основанный на следующих результатах[6]:

  • любую квадратную матрицу с отличными от нуля ведущими главными минорами можно представить в виде произведения нижней треугольной матрицы и верхней треугольной матрицы : (см. LU-разложение), причём такое разложение единственно, если диагональные элементы одной из двух треугольных матриц заранее зафиксированы — например, можно потребовать, чтобы была унитреугольной;
  • любую невырожденную квадратную матрицу можно представить в следующем виде: , где  — матрица перестановок (выбирается в процессе построения разложения) (см. LUP-разложение).

Свойства[править | править код]

  • Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов её главной диагонали[7] (в частности, определитель унитреугольной матрицы равен единице).
  • Множество невырожденных верхних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается UT(n, k) или UTn (k).
  • Множество невырожденных нижних треугольных матриц порядка n по умножению с элементами из поля k образует группу[4], которая обозначается LT(n, k) или LTn (k).
  • Множество верхних унитреугольных матриц с элементами из поля k образует подгруппу UTn (k) по умножению, которая обозначается SUT(n, k) или SUTn (k). Аналогичная подгруппа нижних унитреугольных матриц обозначается SLT(n, k) или SLTn (k).
  • Множество всех верхних треугольных матриц с элементами из ассоциативного кольца k образует алгебру относительно операций сложения, умножения на элементы кольца и перемножения матриц. Аналогичное утверждение справедливо для нижних треугольных матриц.
  • Группа UTn разрешима, а её унитреугольная подгруппа SUTn нильпотентна.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]