Решётка в группе

Эта статья — о дискретных подгруппах произвольных локально компактных групп. О дискретных подгруппах $\mathbb {R} ^{n}$ см. Решётка (геометрия).

Решётка в локально компактной группе — такая её дискретная подгруппа, факторпространство по которой имеет конечную меру Хаара.

Простейший пример решёток — решётки в $\mathbb {R} ^{n}$.

Модулярная группа — решётка в PSL(2,R): её фундаментальная область имеет конечную меру.

Часто изучают решётки в группах Ли или (в более общем случае) в полупростых алгебраических группах над локальными полями. В этой области доказано немало результатов, связанных с понятием жёсткости: теорема Мостова о жёсткости, теорема Маргулиса об арифметичности. Любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка, но обратное неверно: так, для подгруппы $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ объём фактора по ней конечен, однако $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Также хорошо изучены решётки в некоторых других классах групп: в группах, связанных с алгебрами Каца — Муди, и в группах автоморфизмов регулярных деревьев.

Решётки представляют интерес для многих областей математики: геометрическая теория групп, дифференциальная геометрия, эргодическая теория, комбинаторика.

Литература

• Г. А. Маргулис. Арифметические свойства дискретных подгрупп // УМН. — 1974. — Т. 29. — С. 49–98.