Символ Кронекера — Якоби — функция, используемая в теории чисел. Иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера или просто символом Кронекера.
Символ Кронекера — Якоби является обобщением символов Лежандра и Якоби. Символ Лежандра определён только для простых чисел, символ Якоби — для натуральных нечётных чисел, а символ Кронекера — Якоби расширяет это понятие на все целые числа.
Символ Кронекера — Якоби
определяется следующим образом:
- если
— простое нечётное число, то символ Кронекера — Якоби совпадает с символом Лежандра;
- если
, то 
- если
, то 
- если
, то 
- если
, где
,
— простые (не обязательно различные), то

где
определены выше.
тогда и только тогда, когда
(
и
не взаимно просты).
- Мультипликативность:
.
- В частности,
.
- Периодичность по переменной
: если
, то
- при
период равен
, то есть
;
- при
период равен
, то есть
.
- Периодичность по переменной
: если
, то
- при
период равен
, то есть
;
- при
период равен
, то есть
.
- Если
— нечётное натуральное число, то выполнены свойства символа Якоби:



- Аналог квадратичного закона взаимности: если
— нечётные натуральные числа, то
.
Пусть
— натуральное число, а
взаимно просто с
.
Отображение
, действующее на всём
определяет перестановку
, чётность которой равна символу Якоби:

1. (Случай b=0)
Если
то
Если
, то выход из алгоритма с ответом 1
Если
, то выход из алгоритма с ответом 0
Конец Если
2. (Чётность b)
Если a и b оба чётные, то выйти из алгоритма и вернуть 0
Цикл Пока b – чётное
Конец цикла
Если v – чётное, то k=1, иначе иначе
Если
, то
Если
, то
Конец Если
3. (Выход из алгоритма?)
Если
, то
Если
, то выход из алгоритма с ответом 0
Если
, то выход из алгоритма с ответом k
Конец Если
Цикл Пока a – чётное
Конец цикла
Если v – нечётное, то
4. (Применение квадратичного закона взаимности)
(наименьший положительный вычет)
Идти на шаг 3
Замечание: для подсчёта
не нужно вычислять показатель степени, достаточно знать остаток от деления
на 8. Это увеличивает скорость работы алгоритма.