Символ Кронекера — Якоби

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символ Кронекера — Якоби — функция, используемая в теории чисел. Иногда называют символом Лежандра — Якоби — Кронекера или просто символом Кронекера.

Символ Кронекера — Якоби является обобщением символов Лежандра и Якоби. Символ Лежандра определён только для простых чисел, символ Якоби — для натуральных нечётных чисел, а символ Кронекера — Якоби расширяет это понятие на все целые числа.

Определение[править | править код]

Символ Кронекера — Якоби определяется следующим образом:

  • если  — простое нечётное число, то символ Кронекера — Якоби совпадает с символом Лежандра;
  • если , то
  • если , то
  • если , то
  • если , где ,  — простые (не обязательно различные), то

где определены выше.

Свойства[править | править код]

  • тогда и только тогда, когда ( и не взаимно просты).
  • Мультипликативность: .
    • В частности, .
  • Периодичность по переменной : если , то
    • при период равен , то есть ;
    • при период равен , то есть .
  • Периодичность по переменной : если , то
    • при период равен , то есть ;
    • при период равен , то есть .
  • Если  — нечётное натуральное число, то выполнены свойства символа Якоби:
  • Аналог квадратичного закона взаимности: если  — нечётные натуральные числа, то .

Связь с перестановками[править | править код]

Пусть — натуральное число, а взаимно просто с . Отображение , действующее на всём определяет перестановку , чётность которой равна символу Якоби:

Алгоритм вычисления[править | править код]

1. (Случай b=0) 

 Если  то

  Если , то выход из алгоритма с ответом 1

  Если , то выход из алгоритма с ответом 0

 Конец Если

2. (Чётность b) 

 Если a и b оба чётные, то выйти из алгоритма и вернуть 0

 

 Цикл Пока b – чётное

  

 Конец цикла

 Если v – чётное, то k=1, иначе иначе 

 Если , то

  

  Если , то 

 Конец Если

3. (Выход из алгоритма?)
 
 Если , то

  Если , то выход из алгоритма с ответом 0

  Если , то выход из алгоритма с ответом k

 Конец Если

 

 Цикл Пока a – чётное

  

 Конец цикла

 Если v – нечётное, то 

4. (Применение квадратичного закона взаимности)

 

 

  (наименьший положительный вычет)

 

 Идти на шаг 3

Замечание: для подсчёта не нужно вычислять показатель степени, достаточно знать остаток от деления на 8. Это увеличивает скорость работы алгоритма.

Список литературы[править | править код]