Характер кубического вычета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характер кубического вычета — теоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета[en]. Также является характером в простом поле.

Характер кубического вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется кубический закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть

-

кубический корень из единицы.

Рассмотрим D=Z[w] — кольцо чисел Эйзенштейна, то есть чисел вида

,

где a и b — целые числа.

Пусть  — простое в кольце D с нормой , такое что . В этом случае делится на 3. Определим характер кубического вычета следующим образом:

  • , если делится на .
  • иначе.

Заметим, что при , не делящем , значение характера кубического вычета принимает одно из трёх значений: .

Кубический закон взаимности[править | править вики-текст]

Назовём примарным, если оно является простым в D и сравнимо с 2 по модулю 3. Пусть и  — примарные, тогда

Другие свойства характера кубического вычета[править | править вики-текст]

  • тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо в Z[ω], то есть тогда и только тогда, когда  — кубический вычет
  • Мультипликативность:
  • Периодичность: если , то
  • Если  — примарное, то

Список литературы[править | править вики-текст]

  • Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва: Мир, 1987.
  • Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.