Характер (теория чисел)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характер (или числовой характер, или характер Дирихле) по модулю (где  — целое число) — комплекснозначная периодическая функция на множестве целых чисел со следующими свойствами:

  1. , если взаимно просто с , и в противном случае.
  2. для любых и (полная мультипликативность).
  3. для любых (периодичность).

Свойства[править | править код]

  • Существует в точности различных характеров по модулю , где  — функция Эйлера.
  • Все характеры по модулю образуют группу порядка , изоморфную мультипликативной подгруппе обратимых элементов кольца вычетов по модулю .
  • , поскольку в силу .
  • , значит для какого-то . Это - явная формула для характеров, из которой можно получать все остальные их свойства.

Связанные определения[править | править код]

  • Характер, равный 1 для всех натуральных чисел, называется тривиальным. Соответствующая ему -функция - дзета-функция Римана.
  • Характер, принимающий значение 1 на всех числах, взаимно простых с , называется главным:
    • В группе характеров по модулю он играет роль единицы.
  • Характер по модулю называется примитивным, а его модуль называется кондуктором, если не существует и характера по модулю , такого, что для всех .
  • Характер называется нечётным, если ; чётным - если .

Основные соотношения ортогональности[править | править код]

Довольно часто используются следующие соотношения:

;
, где суммирование ведётся по всем возможным характерам.

Примеры[править | править код]

  • Для любого начётного модуля символ Якоби является характером по модулю .
  • Степенной вычет степени выше 2 - это невещественный характер.

История[править | править код]

Характеры Дирихле вместе с их -рядами были введены Дирихле в 1831 году, в рамках доказательства теоремы Дирихле о бесконечности числа простых чисел в арифметических прогрессиях. Он изучал их только для и в основном когда стремится к 1. Расширение этих функций на всю комплексную плоскость было получено Риманом в 1859 году.

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  • Галочкин А. И., Нестеренко Ю. В., Шидловский А. Б. Введение в теорию чисел. — М.: Изд-во Московского университета, 1984.
  • Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. — 3-е изд. — М.: УРСС, 2004.