Факторпространство по подпространству

Факторпространство по подпространству — важный частный случай факторпространств.

Определение

Пусть $(X,\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — векторное пространство, а $(X_{0},\;\mathbb {F} ,\;+,\;\cdot )$ — его подпространство. Определим отношение эквивалентности как

$x\sim y\Leftrightarrow x-y\in X_{0}.$

Тогда $X/\,{\overset {}{\sim }}$ называют факторпространством $X$ по $X_{0}$ и обозначают $X/X_{0}$.

Факторотображение

Отображение $\varphi \colon X\mapsto X/X_{0}$, сопоставляющее каждому элементу из $X$ класс эквивалентности, в котором он лежит, называется факторотображением.

Факторотображение даёт возможность определить на $X/X_{0}$ векторную структуру, задав операции $\langle +,\;\cdot \rangle$ следующим образом:

• $x_{1}+x_{2}=\varphi (\varphi ^{-1}(x_{1})+\varphi ^{-1}(x_{2}))\qquad \forall x_{1},\;x_{2}\in X/X_{0};$
• $\lambda x=\varphi (\lambda \varphi ^{-1}(x))\qquad \forall x\in X/X_{0},\;\lambda \in \mathbb {F} .$

Факторотображение на таком пространстве линейно. Свойства факторотображения:

1. $\varphi \in {\mathcal {L}}(X,\;X/X_{0})$
2. $\mathrm {Im} \,{\varphi }=X/X_{0}$, то есть $\varphi$ - эпиморфизм
3. $\ker {\varphi }=X_{0}$, что эквивалентно ${\varphi }^{-1}(0)=X_{0}$

Связанные определения

Понятия факторпространства по подпространству позволяет определить

• Кообраз линейного отображения $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y):\mathrm {coim\,T} =X/{\ker }\,T$
• Koядро линейного отображения $T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y):\mathrm {coker\,T} =X/{\mathrm {Im} }\,T$, при условии что ${\mathrm {Im} }\,T\in Lat(Y)$
• Коразмерность $X_{0}\in Lat(X):\mathrm {codim\,X_{0}} =\dim X/X_{0}$
• Фактор-полунорма в факторпространстве, порожденная [полунорма|полунормой] p: $\forall w\in X/X_{0}\quad p_{X/X_{0}}(w)=\inf {p({\varphi }^{-1}(w))}$

Сопутствующие теоремы

• Существование снижения на кообраз:

$\forall T\in {\mathcal {L}}(X,\;Y)\,\exists {!}T_{c}\in {\mathcal {L}}(\mathrm {coim\,T} ,\;Y):T={T_{c}}{\varphi }\vee \ker T=\{0\}$

• Теоремы об изоморфизмах:

$\mathrm {coim\,T} \simeq \mathrm {Im\,T} ,\mathrm {coker\,T} \simeq \ker T$

• Теорема о непрерывности факторотображения:

$\varphi \in {\mathcal {B}}(X,\;X/X_{0})$

• ${\varphi }^{-1}(\ker {p_{X/X_{0}}})=\mathrm {cl} X_{0}$
• $(X/X_{0},\;p_{X/X_{0}})$ - хаусдорфово $\Leftrightarrow X_{0}=\mathrm {cl} X_{0}$

Хаусдорфовость полунормированного пространства, как известно, позволять определить на нем норму, а по норме и метрику.

• Признак полноты X: $X_{0},\,X/X_{0}$ - полны $\Rightarrow X$ - полно.
• $X_{0}\,$ - гиперплоскость $\Leftrightarrow \mathrm {codim} X_{0}=1$
• Неравенства для подчиненной фактор-полунормы:

$\forall w\in X/X_{0},\forall x\in {\varphi }^{-1}(w)\quad p_{X/X_{0}}(w)\leq {p(x)}$

$\forall w\in X/X_{0},\forall {\varepsilon }>0\,\exists x\in {\varphi }^{-1}(w):p(x)\leq {(1+{\varepsilon })p_{X/X_{0}}(w)}$

• Лемма о снежинке

Литература

• Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа, 2000