Эндоморфизм Фробениуса

Автоморфизм Фробениуса — автоморфизм конечного поля $\mathbb {F} _{q^{m}}$ над полем $\mathbb {F} _{q}$, где q - степень простого числа. Автоморфизм Фробениуса задается формулой $x\mapsto x^{q}$. Группа автоморфизмов $\mathbb {F} _{q^{m}}$ над $\mathbb {F} _{q}$ носит также название группы Галуа поля $\mathbb {F} _{q^{m}}$ над $\mathbb {F} _{q}$. Группа Галуа $\mathbb {F} _{q^{m}}$ над $\mathbb {F} _{q}$ является циклической, а значит поле $\mathbb {F} _{q^{m}}$ является циклическим расширением поля $\mathbb {F} _{q}$.

Свойства

• Автоморфизм Фробениуса $\sigma$ является автоморфизмом: $\sigma (a+b)=\sigma (a)+\sigma (b),\sigma (ab)=\sigma (a)\sigma (b)$.
• Автоморфизмы $\sigma ^{j}$ переводят любой элемент $\alpha$ в ему сопряженные
• Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля $\mathbb {F} _{q}$.
• Если $f$ - многочлен степени m над $\mathbb {F} _{q}$, то он имеет корень $\alpha$ в $\mathbb {F} _{q^{m}}$ и все его m корней $\alpha _{j}$ получаются применением m раз автоморфизма Фробениуса к $\alpha$: $\alpha _{j}=\sigma _{j}(\alpha )$.
• Поскольку $(\forall f\in \mathbb {F} _{q^{m}})f^{q^{m}}=f$, $\sigma ^{m}=1$, а все автоморфизмы $\sigma ,\sigma ^{2},...\sigma ^{m}$ различны. Также, автоморфизмы $\sigma ,\sigma ^{2},...\sigma ^{m}$ исчерпывают все возможные автоморфизмы $\mathbb {F} _{q^{m}}$ над $\mathbb {F} _{q}$, так что группа Галуа $Gal(\mathbb {F} _{q^{m}},\mathbb {F} _{q})$ является циклической с образующим элементом $\sigma _{1}$.

Литература

• Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.

См. также

• Конечное поле
• Группа Галуа
• Первообразный корень
• Многочлен над конечным полем