Среднее геометрическое: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Правка 89.113.112.104 (№53235347) откачена к версии участника Addbot (тестовая правка) |
|||
Строка 17: | Строка 17: | ||
: <math> \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right) </math> |
: <math> \bar{x} = \left(\prod_{i=1}^n x_i^{w_i}\right)^{1 / \sum_{i=1}^n w_i} = \quad \exp \left( \frac{1}{\sum_{i=1}^n w_i} \; \sum_{i=1}^n w_i \ln x_i \right) </math> |
||
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому |
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому. |
||
== В геометрии == |
== В геометрии == |
Версия от 22:15, 22 июня 2013
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1].
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2].
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восставленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при
См. также
- Среднее арифметическое
- Среднее квадратическое
- Среднее значение
- Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
- Неравенство Швейцера
Примечания
- ↑ «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.
Для улучшения этой статьи желательно:
|