Среднее Колмогорова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Среднее Колмогорова или среднее по Колмогорову для действительных чисел — это величина вида

где — непрерывная строго монотонная функция, а — функция, обратная к .

Примеры[править | править вики-текст]

При выборе определённых функций среднее Колмогорова даёт различные классические средние:

Свойства[править | править вики-текст]

В 1930 году А. Н. Колмогоров показал,[1] что любая средняя величина имеет вид , если она обладает свойствами:

  • непрерывности,
  • монотонности по каждому ,
  • симметричности (среднее не меняется при перестановке аргументов),
  • среднее от набора равных чисел равно их значению,
  • замена значений всех чисел любой подгруппы в наборе на значение среднего для этой подгруппы не меняет значение среднего всего набора.

Приложения[править | править вики-текст]

Средние Колмогорова используют в прикладной статистике и эконометрике. В соответствии с теорией измерений, для усреднения данных, измеренных в шкале интервалов, из всех средних Колмогорова можно использовать только среднее арифметическое, а для усреднения данных, измеренных в шкале отношений, из всех средних Колмогорова можно использовать только степенные средние и среднее геометрическое.[2][3]

Обобщения[править | править вики-текст]

Для непрерывно распределённой величины среднее Колмогорова на отрезке :

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  1. Колмогоров А. Н. Математика и механика // Избранные труды / отв. ред. С. М. Никольский, сост. В. М. Тихомиров. — М.: Наука, 1985. — Т. 1. — С. 136-138.
  2. Орлов А. И. Глава 2 // Эконометрика. — 3-е изд. — М.: Экзамен, 2004. — 596 с.
  3. Орлов А. И. Раздел 5.3 // Прикладная статистика. — М.: Экзамен, 2006. — 671 с.