Среднее геометрическое

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:

Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
  • Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:

Среднее геометрическое взвешенное[править | править вики-текст]

Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как

В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.

В геометрии[править | править вики-текст]

Среднее геометрическое отрезков:

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.

Расстояние до горизонта сферы есть среднее геометрическое между расстоянием до самой ближней точки сферы и расстоянием до самой дальней точки сферы.

Обобщения[править | править вики-текст]

  • Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
  • Среднее геометрическое является средним Колмогорова при

Примечания[править | править вики-текст]

  1. «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии.
  2. Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.

См. также[править | править вики-текст]