Среднее степенное

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Среднее степени d (или просто среднее степенное) набора положительных вещественных чисел x_1, \ldots, x_n определяется как

A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt[d]{\frac{\sum\limits_{i=1}^n x^d_i}n}

При этом по непрерывности доопределяются следующие величины:

A_0(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to 0} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \sqrt [n]{\prod_{i=1}^n x_i}
A_{+\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to +\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \max\{ x_1, \ldots, x_n \}
A_{-\infty}(x_1, \ldots, x_n) = \lim_{d\to -\infty} A_d(x_1, \ldots, x_n) = \min\{ x_1, \ldots, x_n \}

Среднее степенное является частным случаем Колмогоровского среднего.

Другие названия[править | править вики-текст]

Т.к. среднее степени d обобщает известные с древности (т.н. архимедовы) средние, то его часто называют средним обобщённым.

По связи с неравенствами Минковского и Гёльдера среднее степенное имеет также названия: среднее по Гёльдеру и среднее по Минковскому.

Частные случаи[править | править вики-текст]

Средние степеней 0, ±1, 2 и \pm\infty имеют собственные имена:

(иначе говоря: средним арифметическим n чисел является их сумма, деленная на n)

(иначе говоря: средним геометрическим n чисел является корень n-ой степени из произведения этих чисел)

(иначе говоря: средним гармоническим чисел является обратная величина к среднему арифметическому их обратных)

  • A_{2}(x_1, \ldots, x_n) = s =\sqrt{\frac{x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_n}{n}} называется средним квадратичным (квадратическим), известным так же под сокращением RMS (root-mean-square).
  • В статистической практике также находят применение степенные средние третьего и более высоких порядков. Наиболее распространенными из них являются среднее кубическое и среднее биквадратическое значения.
  • Максимальное и минимальное число из набора положительных чисел выражаются как средние степеней +\infty и -\infty этих чисел:
\operatorname{max} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{+\infty} (x_1, \ldots, x_n);
\operatorname{min} \{x_1,\ldots, x_n\} = A_{-\infty} (x_1, \ldots, x_n).

Неравенство о средних[править | править вики-текст]

Неравенство о средних утверждает, что для d_1 > d_2

A_{d_1}(x_1, \ldots, x_n) \geq A_{d_2}(x_1, \ldots, x_n),

причем равенство достигается только в случае равенства всех аргументов x_1 = \ldots = x_n.

Для доказательства неравенства о средних достаточно показать, что частная производная A_d(x_1, \ldots, x_n) по d неотрицательна и обращается в ноль только при x_1 = \ldots = x_n (например, используя неравенство Йенсена), и далее применить формулу конечных приращений.

Неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом[править | править вики-текст]

Частным случаем неравенства о средних является неравенство о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом

\max\{ x_1, \ldots, x_n \} \geq \frac{x_1 + \ldots + x_n}{n} \geq \left( x_1\cdot\ldots\cdot x_n\right)^{1/n} \geq \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \ldots + \frac{1}{x_n}} \geq \min\{ x_1, \ldots, x_n \},

где каждое из неравенств обращается в равенство только при x_1 = \ldots = x_n.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]