Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Неравенство Коши (неравенство о средних) гласит, что для любых неотрицательных чисел верно неравенство:

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда .

Часть конуса , определяемая средним геометрическим чисел и (красная), лежит между плоскостью , определяемой средним арифметическим (синяя), и частью конуса , определяемой средним гармоническим (зелёная)

Определения[править | править код]

Выражение

называется средним арифметическим чисел .

Выражение

называется средним геометрическим чисел .

Выражение

называется средним гармоническим чисел .

Выражение

называется средним квадратическим чисел .

Связанные результаты[править | править код]

История[править | править код]

Одно из доказательств этого неравенства было опубликовано Коши в его учебнике по математическому анализу в 1821 году[1].

Доказательство (при )[править | править код]

Рис. 1

Количество доказательств этого неравенства на данный момент сравнимо, наверное, только с количеством доказательств теоремы Пифагора. Приведем красивое геометрическое доказательство для случая . Пускай нам даны два отрезка длины и . Тогда построим окружность диаметром (см. рис. 1). От одного из концов диаметра отметим точку на расстоянии . Проведем через эту точку перпендикуляр к диаметру; полученная прямая пересечет окружность в двух точках, и . Рассмотрим полученную хорду. Треугольник прямоугольный, так как угол — вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, а значит, прямой. Итак, — высота треугольника , а высота в прямоугольном треугольнике есть среднее геометрическое двух сегментов гипотенузы. Значит, . Аналогично, из треугольника получаем, что , поэтому . Так как — хорда окружности с диаметром , а хорда не превосходит диаметра, то получаем, что , или же . Заметим, что равенство будет тогда, когда хорда будет совпадать с диаметром, то есть при .

Отражение в культуре[править | править код]

Эпизод с доказательством, что среднее арифметическое больше среднего геометрического, присутствует в одной из сцен кинофильма «Сердца четырёх» 1941 года.

Примечания[править | править код]

  1. Cauchy, Augustin-Louis Cours d'analyse de l'École Royale Polytechnique. Première partie. Analyse algébrique. — Paris, 1821. — С. 457—459.

Литература[править | править код]