Среднее геометрическое: различия между версиями
[непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
De Riban5 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
De Riban5 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 2: | Строка 2: | ||
: <math>G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}</math> |
: <math>G(x_1, x_2, \ldots, x_n)=\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{1/n}</math> |
||
Среднее геометрическое двух чисел также называется их '''средним пропорциональным'''<ref>{{Из БСЭ|http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00074/05700.htm|title=«Среднее пропорциональное».}}</ref>. |
Среднее геометрическое двух чисел <math>( \sqrt{a_1a_2} )</math> также называется их '''средним пропорциональным'''<ref>{{Из БСЭ|http://slovari.yandex.ru/dict/bse/article/00074/05700.htm|title=«Среднее пропорциональное».}}</ref>. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
Версия от 11:03, 27 июня 2015
Средним геометрическим нескольких положительных вещественных чисел называется такое число, которым можно заменить каждое из этих чисел так, чтобы их произведение не изменилось. Более формально:
Среднее геометрическое двух чисел также называется их средним пропорциональным[1].
Свойства
- Так же, как и любое другое среднее значение, с.г. лежит между минимумом и максимумом из всех чисел:
- Среднее геометрическое двух чисел является средним арифметическим-гармоническим этих чисел, то есть равно пределу двух последовательностей:
- Среднее геометрическое двух чисел равно среднему геометрическому их среднего арифметического и среднего гармонического[2].
Среднее геометрическое взвешенное
Среднее геометрическое взвешенное набора вещественных чисел с вещественными весами определяется как
В том случае, если все веса равны между собой, среднее геометрическое взвешенное равно среднему геометрическому.
В геометрии
Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, есть среднее пропорциональное между проекциями катетов на гипотенузу, а каждый катет есть среднее пропорциональное между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.
Это даёт геометрический способ построения среднего геометрического двух (длин) отрезков: нужно построить окружность на сумме этих двух отрезков как на диаметре, тогда высота, восстановленная из точки их соединения до пересечения с окружностью, даст искомую величину.
Обобщения
- Среднее геометрическое можно рассматривать как предел средних степенных при .
- Среднее геометрическое является средним Колмогорова при
Примечания
- ↑ «Среднее пропорциональное». — статья из Большой советской энциклопедии.
- ↑ Роу С. Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923.
См. также
- Среднее значение
- Среднее арифметическое
- Среднее гармоническое
- Среднее квадратическое
- Геометрическая пропорция
- Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
- Неравенство Швейцера
Для улучшения этой статьи желательно:
|