Радикал идеала: различия между версиями
[отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
м +шаблон: некорректные викиссылки в сносках |
исправление неработающей ссылки на источник, пунктуация |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
В [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебре]], '''радикал идеала''' ''I'' — это [[идеал (математика)|идеал]], образованный всеми элементами ''x'' |
В [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебре]], '''радикал идеала''' ''I'' — это [[идеал (математика)|идеал]], образованный всеми элементами ''x'' такими, что некоторая степень ''x'' принадлежит ''I''. '''Радикальный идеал''' — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом. |
||
== Определение == |
== Определение == |
||
Строка 8: | Строка 8: | ||
== Примеры == |
== Примеры == |
||
* В кольце целых чисел радикал [[главный идеал|главного идеала]] <math>(a)</math> — это идеал, |
* В кольце целых чисел радикал [[главный идеал|главного идеала]] <math>(a)</math> — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей <math>a</math>. |
||
* Радикал [[примарный идеал|примарного идеала]] [[простой идеал|прост]]. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен. |
* Радикал [[примарный идеал|примарного идеала]] [[простой идеал|прост]]. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен. |
||
* В любом коммутативном кольце <math>\sqrt{P^n} = P</math> для простого идеала <math>P</math |
* В любом коммутативном кольце <math>\sqrt{P^n} = P</math> для простого идеала <math>P</math>{{sfn|Атья и Макдональд|2003|loc=Предложение 4.2}}. В частности, каждый простой идеал радикален. |
||
== Свойства == |
== Свойства == |
||
Строка 18: | Строка 18: | ||
== Приложения == |
== Приложения == |
||
Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой [[теорема Гильберта о нулях|теореме Гильберта о нулях]] из [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]]. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутого поля]] <math>k</math> и любого [[конечнопорожденный идеал| |
Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой [[теорема Гильберта о нулях|теореме Гильберта о нулях]] из [[коммутативная алгебра|коммутативной алгебры]]. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого [[алгебраически замкнутое поле|алгебраически замкнутого поля]] <math>k</math> и любого [[конечнопорожденный идеал|конечнопорождённого идеала]] в кольце многочленов от <math>n</math> переменных над полем <math>k</math> верно следующее равенство: |
||
: <math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt J,</math> |
: <math>\operatorname{I}(\operatorname{V}(J)) = \sqrt J,</math> |
||
где |
где |
||
Строка 27: | Строка 27: | ||
== Примечания == |
== Примечания == |
||
{{примечания}} |
{{примечания}} |
||
⚫ | |||
== Литература == |
|||
* ''Eisenbud, David'', Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, 150, Springer-Verlag, 1995, — ISBN 0-387-94268-8. |
|||
⚫ | |||
{{Нет полных библиографических описаний}} |
|||
* {{книга|автор=Eisenbud, David. |заглавие=Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry|место=|издательство=Springer-Verlag|год=1995|allpages=|серия=Graduate Texts in Mathematics, vol. 150|isbn=0-387-94268-8|ref=Eisenbud}} |
|||
[[Категория:Коммутативная алгебра]] |
[[Категория:Коммутативная алгебра]] |
Версия от 21:59, 10 февраля 2017
В коммутативной алгебре, радикал идеала I — это идеал, образованный всеми элементами x такими, что некоторая степень x принадлежит I. Радикальный идеал — это идеал, совпадающий со своим собственным радикалом.
Определение
Радикал идеала I в коммутативном кольце R, обозначаемый , определяется как
Интуитивно, для получения радикала идеала нужно взять корни всех возможных степеней из его элементов. Эквивалентное определение радикала идеала I — это прообраз нильрадикала при отображении факторизации. Это также доказывает, что является идеалом.
Примеры
- В кольце целых чисел радикал главного идеала — это идеал, порождённый произведением всех простых делителей .
- Радикал примарного идеала прост. Обратно, если радикал идеала прост, то этот идеал примарен.
- В любом коммутативном кольце для простого идеала [1]. В частности, каждый простой идеал радикален.
Свойства
- . Более того, — это наименьший радикальный идеал, содержащий I.
- — это пересечение всех простых идеалов, содержащих I. В частности, нильрадикал — это пересечение всех простых идеалов.
- Идеал является радикальным тогда и только тогда, когда факторкольцо по нему не содержит нетривиальных нильпотентов.
Приложения
Основная мотивация для изучения радикалов — это их появление в знаменитой теореме Гильберта о нулях из коммутативной алгебры. Наиболее простая формулировка этой теоремы имеет следующий вид: для любого алгебраически замкнутого поля и любого конечнопорождённого идеала в кольце многочленов от переменных над полем верно следующее равенство:
где
и
Примечания
- ↑ Атья и Макдональд, 2003, Предложение 4.2.
Литература
- Атья М., Макдональд И. . Введение в коммутативную алгебру. — М.: Факториал Пресс, 2003. — ISBN 5-88688-067-4.
- Eisenbud, David. . Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. — Springer-Verlag, 1995. — (Graduate Texts in Mathematics, vol. 150). — ISBN 0-387-94268-8.